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(黄陂区第一中学盘龙校区 湖北武汉 430312)

竞赛试题通常凝聚着命题专家的智慧，解题视角广、途径多,富含着数学的精神、思想和方法.对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，多角度深入的思考，可以得到多种不同的解法，从而训练思维的灵活性，优化思维品质．

本题是2013年湖北省高中数学联赛高一试题的第11题．求函数值域大家再熟悉不过，然而当你动笔去做时，你会发现，此题看似平淡，其实意蕴不凡.下面给出笔者的一些思考．

视角1单调性解 彰显通法

从而

故

①若x∈[1,+∞)，则当x=1时y=1;当x→+∞时，y→+∞,故y≥1.

②若x∈(-∞,-1]，则当x=-1时，y=1；当x→-∞时，

故

评析单调性是函数性质的灵魂，借助单调性求函数的值域是中学阶段最为重要的方法之一．有些函数的单调性可直接分析函数的结构特征，而有些则需要借助导数求解.解法1的关键是当x≤-1时对式子进行恰当变形，将变量集中在一个式子中，目的是分析出函数的单调性；解法2利用导数判断单调性是通法，充分体现了导数的应用价值.

视角2合理换元 意在简化

由0≤sinθ≤1，知y≥1.

由

0≤sinθ<1,1≤1+sinθ<2，

知

将式(2)平方得

将式(1)代入式(3)得

即 4yt-y+2t=0.

(4)

从而

于是

故

评析解法3联想三角函数中的平方关系，借助三角换元，顺利将根号去掉，最后利用三角函数的有界性来解题．解法4采用均值换元，先通过平方去掉根号，再借助关于t的一元二次的方程有符合条件的根求解．换元法是数学解题中的基本方法，表达式中的根号无疑是解题中的最大障碍，以上2种解法的……