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(彭阳县第三中学 宁夏彭阳 756500)

前苏联数学教育家奥加涅相说过：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.”中学数学教材中的习题凝聚了专家、学者的集体智慧和结晶，研究这些习题，充分挖掘其内在功能的教育教学价值是一线教师责无旁贷的任务.通过研究习题可以提高学生的数学解题能力，发展学生的数学思维能力，培养良好的数学兴趣，从而提高数学教学质量.

1 试题的呈现及解答

题目正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为AB,DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小.

(人教A版数学必修4第147页习题)

图1

解法1(综合几何法)如图1，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°,使边CB与CD重合，则点P与点G重合，点Q与点H重合，于是CP=CG，BP=DG，∠PCG=90°.又△APQ的周长为2，正方形ABCD的边长为1，于是PQ=BP+QD=QG,从而△CPQ≌△CGQ，因此

图2 图3

解法2(三角法)如图2，设BP,DQ的长分别为a，b,∠BCP=α,∠DCQ=β.由已知得AP,AQ的长分别为1-a，1-b，PQ的长为a+b.由勾股定理得

(a+b)2=(1-a)2+(1-b)2，

即

a+b=1-ab,

又tanα=a,tanβ=b，于是

由0°<α+β<90°，得α+β=45°，故∠PCQ=45°.

解法3(坐标法)建立如图3所示的直角坐标系，联结AC,作QE⊥AC,垂足为点E.设P(a,0),Q(0,b),由已知得C(1,1),B(1,0),D(0,1),直线AC:y=x，由点到直线的距离公式得

由勾股定理得

PQ=2-(a+b)，

所以

即

ab+2=2(a+b)，

亦即

从而

于是Rt△CBP∽Rt△CEQ.可知∠BCP=∠ECQ,故∠PCQ=∠ACB=45°.

2 试题的一般性结论

注意到题目的已知条件：△APQ的周长恰好是正方形边长的2倍，从而可得一般性的结论.

结论1在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，△APQ的周长是正方形边长的2倍，则∠PCQ=45°.

用上面的方法易证明结论成立，此处略.

笔者尝试用上述解法来考查结论的逆命题，发现也是一个真命题，于是便有如下的结论.

结论2在正方形ABCD中，若点P,Q分别在边AB,AD上，若……