●卢国兴

(桐庐中学 浙江桐庐 311500)

几何计数问题主要是指与几何有关的计数问题，由于该类问题往往蕴含着“形”的美妙与“数”的严谨，因此倍受竞赛命题者的青睐．

几何计数问题的内容比较别致，富于变化.如果自己不能理清思路，寻找到一种合适的解法，就很难得到正确的答案.以下笔者结合一些数学竞赛试题，介绍几种典型的解法.

1 直接分类枚举

当对于原问题中的各种情形一时无法统一处理，并且注意到结论不是很庞大的数字时，不妨采用分类枚举法．“直接分类枚举”是一种最简单、最基本的计数方法.

图1

例1 联结正五边形A1A2A3A4A5的对角线交出另一个正五边形B1B2B3B4B5，再次联结正五边形B1B2B3B4B5的对角线，又交出一个正五边形C1C2C3C4C5(如图1)，以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形

( )

A.50个 B.75个 C.85个 D.100个

(2005年全国高中数学联赛江西省初赛试题)

解 以A1为2条腰公共点的等腰三角形有6个:△A1A2A5,△A1B3B4,△A1B2B5,△A1A3A4,△A1A2B5,△A1A5B2;

以B1为2条腰公共点的等腰三角形有9个:△B1A3A4,△B1B2B5,△B1B3B4,△B1C3C4,△B1B2C5,△B1C2B5,△B1A2A5,△B1A3B4,△B1A4B3;

以C1为2条腰公共点的等腰三角形有2个:△C1B3B3,△C1B2B5.

由于图1中没有等边三角形，故每个等腰三角形的2条腰恰有一个公共顶点．因此,由对称性可知共有等腰三角形5×(6+9+2)=85个．

例2 作正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，求相互成异面直线的“线段对”的个数．

解 任取一条中位线AB，AB所在的侧面没有与AB异面的线段；含点A的另一个侧面恰有一条中位线与AB异面；含点B的另一个侧面也恰有一条中位线与AB异面；不含点A,B的侧面恰有2条中位线与AB异面；因此与AB异面的中位线……