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(象山中学 浙江象山 315700)

●杨光伟

(浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004)

2014年3月25日，浙江省宁波市象山县高中数学教坛新秀评比活动在象山中学开展.活动中，7位参赛教师以“等比数列的前n项和”为例同课异构.笔者在上课、听课、评课的交流中收获颇丰，遂对本节课的不同设计、呈现方式进行比较研析，与同行分享.

1 教学设计的困惑

设计本节课，笔者有3个困惑：(1)教科书中的错位相减法，学生如何想到？若学生想不到，则教师应如何引导学生自主探究，而非被动接受？(2)是否有必要探究多种求和方法，探究几种才合适？若学生未能探究出其他方法，则教师还有必要展示它们吗？(3)本课的教学重心是偏向公式推导探究，还是公式掌握练习？若两者兼顾，则在有限的时间内如何提高课堂效率？

带着这3个困惑，笔者学习了此次比赛的7节课.几乎所有参赛教师都尝试采用引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境、自主探究、得出公式、应用公式、变式训练”的模式组织教学，但具体的教学过程却大相径庭，学生的参与程度也差异较大.

2 教学模式研探

方案1

(引导中铺设方法台阶)

教师课前发放学案，引入国际象棋的故事，并给出课题：如何求解

S64=1+2+22+…+263.(1)

师：国王愿意把每个格子的麦粒数加倍给发明者，请问：原来放好的麦粒是不是要重新放过？为什么？

生：不需要，每一格麦粒数乘以2即可.

师：国王一共需要准备多少麦粒？

生：2S64=2+22+23+…+264.

(2)

师：比发明者原来的要求多多少？

生：式(2)-式(1)，得S64=264-1.

师：我们发现式(2)和式(1)有很多相同项，相减后即可消除.我们把它推广到一般情形：

Sn=1+q1+q2+…+qn-1,

(3)

如何求解？

生：qSn=q1+q2+q3+…+qn,

(4)

式(4)-式(3)，得

(q-1)Sn=qn-1,

从而

师：那么，更一般的情形：

Sn=a1+a1q1+a1q2+…+a1qn-1,

(5)

如何求解？

生：qSn=a1q1+a1q2+a1q3+…+a1qn,

(6)

式(6)-式(5)，得

(q-1)Sn=a1(qn-1),

从而

学生沉默，教师给出提示，引出另外2种推导方法.

本课例由教师直接“抛出”等比数列前n项和公式的推导方式，铺设方法台阶，降低思维难度，让学生寻求一般化的证明方法，从特殊推广到一般情形，学生易于接受，但有2个问题待商榷：

问题1

式(2)的出现非学生自主探索，势必有学生存在困惑：为什么这样操作，如何想到的？学生只是直观感觉乘以2，为什么不是3或其他数字，学生没有主观感受,容易产生一种现象——教师继续引问：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an怎么求和？学生答：乘以2.此时的探究意义有限，更多是学生的模仿，惊叹于方法的神奇，却没有自主获得结论的成就感，同时也不可能使“错位相减法”得以渗透.

问题2

在教师铺设了S64,2S64后，学生选择“式(2)-式(1)”，虽然“式(2)-式(1)”或“式(1)-式(2)”在方法本质上没有区别，但在学生还没有完全掌握错位相减法的情况下，2式混减，无疑会扰乱学生的思绪，不利于错位相减法常规操作习惯的培养.

当然，这一教学方式有其优势，对于学习能力一般的学生来说，教师铺设方法的台阶，给学生思维的线索，让所有学生都能“跳一跳，摘桃子”，而且节省探索时间，并配合学案教学，强化公式运用，学生得以有效巩固.

方案2

(猜想中从特殊到一般)

教师引导学生对S64=1+2+22+…+263的结果进行猜想：由1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=7=23-1，1+2+22+23=15=24-1不完全归纳猜想得

S64=1+2+22+…+263=264-1,

1+2+22+…+2n-1=2n-1,

从而猜想出更一般的结论：

此时，等比数列的求和公式呼之即出

最后在教师的启发下，通过多项式变形，引出错位相减法等方法进行论证.

数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是推动数学理论发展的强大动力.本课突出了“归纳—猜想—证明”的思想方法，既能把学生推向“愤、悱”的境界，又能激活学生的认知结构，先猜后证.由特殊到一般的过程中，引领学生进行似真推理，归纳猜想求和公式，并从结构分析获得解题灵感，也不失为一种不错的寻求结果的方法.但是在本课例中，学生已经猜想得到问题的结论，失去探索未知的冲动，解决问题的内驱力自然也不会太高.后续的证明，仍然需要教师引导启发，在课堂时间的把握上可能有些紧张.

方案3

(启发中架设思维桥梁)

师：这里要研究的问题是棋盘上有多少麦粒数？可以把每格所放的麦粒数看作什么数列？

生：是一个首项为1、公比为2的等比数列.

师：要求第1个格子到第64个格子的麦粒数总和，即求这个等比数列的和S64=1+2+22+…263.如何计算S64，是这节课要探究的课题.把式子符号化，即Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.同学们回顾一下，我们已经学习了哪些数列的求和？

生：等差数列.

师：等差数列的前n项和公式是

在研究等比数列求和时，能不能像等差数列一样，用已知的相关量简洁地表示出来，从而简化等比数列求和的计算？关于等比数列，我们已学习了哪些知识？

生：定义和通项公式.

师：同学们自己动手进行探究，运用已学知识计算等比数列的前n项和.

(学生探究5分钟.)

生：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an可写成

Sn=a1+a1q1+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1,

(7)

2边同乘以q,得

qSn=a1q1+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn.

(8)

师：很好！乘公比q后有什么效果？

生：上下2式有很多相同项.

师：式(7)-式(8)，得

(1-q)Sn=a1-a1qn，

从而

这种方法，过程很新颖,是怎么做到的，有哪些步骤？

生：先乘公比，再错位，后相减.

师：我们称此法为(乘公比)错位相减法.还有其他想法吗？

学生没有提出新方法，教师引导给出其他2种方法.

本课的全过程可概括为：具体问题→数学模型→解决具体问题.学生从现有的知识和经验出发，运用叠加、消元、类比、分类讨论、函数方程、等价转化等思想方法，从不同角度对公式的推导作了探究.借助等差数列求和的思想，类比寻求推导等比数列前n项和公式的方法，更符合学生的认知特征.等差数列和等比数列求和公式的推导方法，从数学思想和数学方法上是一致的，都是将“无限”化为“有限”，差异在于错位的方法不同[1].正是由于这种差异，致使很多参赛教师错误地认为：不能通过类比推理探究等比数列前n项和公式.实际上，他们是基于这样的错误认识：通过运算方式的类比才行，而这里却是解题思想的类比.

本节课，教师的讲解细致入微、面面俱到，引导更是步步深入，但教师讲得越细，学生讲得越少；教师引得越深，学生想得越少.课堂上，更多的是教师的循循善诱，而少了学生思维的火花，以致于在前面如此细腻的引导下，学生仍然只是给出课本方法，而没有思维的灵动，后续方法只能是教师自行给出，实为美中不足.

方案4

(点拨中启动学生探究)

师(激发兴趣)：国际象棋…….国王一听，欣然答应了，发明者的要求不高吧？

生：太高了.

师(提出质疑)：为什么太高，不就是麦粒吗？

生：加起来就很多了，一共需要的麦粒总数是1+2+22+…+263.

师(抛出问题)：很好，但是我们要用数据来说话，这个算式怎么计算？

师(宏观问题)：哪怕我们帮国王算出了这个结果，如果又有人给国王出了另一个难题：第1个格子里放上2粒麦子，之后的每个格子里放的麦子数都是前一个格子里放的麦子数的3倍，直到第64个格子.那可怎么办？这是一个类似的问题，我们能否找到一般方法，解决这一类问题？首先，我们要明确，要解决的是哪一类问题？

生：等比数列求和.

师(点明障碍)：很好，我们把问题一般化，即求Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，如何求解？我们在求解中，会遇到哪些障碍？

生：太多了.

师(点拨突破)：对！量太多，这里有a1,a2,a3,…,an共n个不同的量，怎样减少？我们之前有接触过类似的问题吗？

生：等差数列求和，也有n项，利用倒序相加，实现消项，转化为用a1,n,d或a1,an,d这3个基本量来表示.

师(类比提炼)：类比等差数列，等比数列是否也可以用3个基本量来表示？

生：用a1,n,q，转化为

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1.

(9)

师(明确依据)：此处项数太多，如何来消项，利用什么原理？

an-1q=an(n≥2).

师(引发探讨)：请大家围绕定义，目标是基本量的最简形式，进行等比数列求和的探索，寻找多种方法.

(学生探究3分钟.)

师(合作交流)：同桌互相交流分享，有没有不一样的收获？

生1：式(9)的2边同乘以q，得

qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn.

(10)

师：乘公比有什么效果？

生1：有很多相同的项.式(9)-式(10)，得

(1-q)Sn=a1-a1qn,

即

生1：还有问题，当q=1时，Sn=na1.

师：很好，但是乘以q是怎么想到的？

生2：为了相消，根据等比数列的定义，a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q每一项乘以q，即往后挪了一项.

师：很好！这个方法有几个步骤？

生1：乘公比、错位、相减、化简，我们可以称之为错位相减法.

师：很漂亮的总结！我们成功地将目标转化为基本量的最简形式，注意分类讨论，还有其他方法吗？

……

师：根据等比数列的定义和合比定理，我们用整体代换，转化为基本量，得到求和公式，这样的总结有问题吗？

生：要分类讨论，而且是分式结构，分母不为0；n为奇数，当q=-1时，此法不适用.

师：还有其他方法吗？

生4：因为a2+a3+…+an=q(a1+a2+a3+…+an-1),所以Sn-a1=q(Sn-an)…

生5：an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+

(a4-a3)+…+(an-an-1)=

a1+a1(q-1)+a2(q-1)+

a3(q-1)+…+an-1(q-1)=

a1+(q-1)(a1+a2+…+an-1)=

a1+(q-1)(Sn-an)…

师：构造得非常漂亮!先构造，再提取，后整体代换，转化为基本量的最简形式.同学们的思路非常开阔，还有其他方法课后再交流.总结这些方法，各有千秋，这里我们重点学习错位相减法.

本节课中，教师娴熟地应用苏格拉底的“产婆术”，以10个提问使学生陷入矛盾之中，再进行助产，启发、引导学生，使学生通过自己的思考，得出结论，学生每次给出一种方法，教师都会进行质疑诘问，从而帮助学生完善思维.师生的精彩对白，使得课堂的思维结果因过程而精彩，互动现象因方法而生动.这样的探究设计，建基于学生发展的知识体系，教会了学生学会思考，在数学的思考中，在“生动”、“情动”中，发展了学生的数学能力.

3 几点后续的思考

赏析了以上4个课例，笔者之前的困惑也迎刃而解，以下是笔者的几点思考：

(1)课堂教学应重视学生的认知规律和学习障碍.

错位相减法的生成过程，在一定程度上忽视了学生的认知规律，是学生学习的一个障碍，很多教师总是牵引着学生往自己预设的方向走，没有很好地帮助学生突破学习障碍.学生的思维是灵动的，需要教师的启发引导，哪怕学生事先了解了错位相减法，学生也需知晓这一方法的生成过程，明确它的思想方法.把教学提升到思维的高度，在思想的引领下，构想方法，导出知识，才是学生获取知识的良好途径[2].如何打开思路，揭示思维的本质，便是本课难点突破的关键之处.

(2)课堂教学应以学为中心，教学生学.

章建跃博士说：“要通过恰到好处的提问，提好的问题，给学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更主动、有兴趣地学，富有探索地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.”学生是课堂的主角，课堂要跟着学生走.教师的引，要恰到好处；导，应自然和谐；诱，需合乎事宜，授人以鱼，不如授人以渔，不妨授人以欲.对于求和公式推导的多种方法，给不给出，视学情而定.学生自行给出，教师自然要搭建让学生呈现智慧的平台；学生给得少，教师搭桥铺路，牵着学生多走几步；学生给不了，教师也无需强求，当然视学情，适当地介绍1～2种也无妨.

(3)课堂教学应有效践行教学的“3个理解”.

章建跃博士曾提出数学教学的“3个理解”(理解教材、理解学生、理解教学)，本课也要践行教学的“3个理解”[3].从认知层面看，等比数列前n项和公式在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识.因此，本课有2个重点:一个是掌握等比数列的前n项和公式，一个是掌握错位相减法.在一节课的时间内要达到这样的双重目的，时间是教学设计时必须考虑的要素.公式的推导探究和掌握练习必须兼顾，但还是更应突出思维的过程.一味地进行探究，课堂便没有沉淀；过多地进行巩固，便使探究趋于形式.有效的探究和适当的巩固提升，才能让课堂教学更有效、更高效、更优效！

(注：本文是2012年宁波市基础教育教研课题“高中数学教师学科教学能力及其培养与研修”(编号：121110)的阶段成果.)

参 考 文 献

[1] 徐明.“等比数列前n项和公式”教学设计及反思[J].中学数学月刊，2009(5)：15-16.

[2] 张金良.浙江省高中数学新课程改革的实践与思考[J].中学教研(数学)，2012(9)：1-7.

[3] 曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2008.