金 艳, 贾 曼

(1.宁波教育学院,浙江 宁波 315010;2.宁波大学 理学院，浙江 宁波 315211)

0 引 论

在非线性科学领域，1+1维的Burgers方程

ut=2uux+uxx

(1)

是最重要的数学物理模型之一,它被广泛地应用于物理学和其他自然科学的各个领域，如流体力学、大气动力学和交通流,等等[1].Burgers方程(1)的各种性质及其严格解已经被许多学者研究.如文献[2]利用重复对称性约化的方法给出了式(1)的无穷多的严格解；文献[3]发展了一个一般的tanh函数展开法求解Burgers方程(1)，得到了大量的新的严格解；文献[4]利用非局域对称相关的对称性约化得到了很多具有实际意义的严格解.

本文中,笔者研究方程(1)的3+1维的推广形式[5]:

ut=2uux+2vvx+2wwx+uxx+vxy+wxz;

(2)

uy=vx;

(3)

uz=wx.

(4)

和1+1维的Burgers方程(1)一样，3+1维Burgers方程(2)～方程(4)在物理学中同样具有非常重要的地位.如作变换

u=φx,v=φy,w=φz

(5)

后，式(2)成为著名的没有白噪声项的KPZ(Kardar-Parisi-Zhang) 方程[6-8 ]

φt=(φ)

(6)

KPZ方程可以很好地描述各种界面的生长[6].具有随机项的KPZ方程也可以从粒子系统中导出[7].

奇性分析方法是研究非线性方程的最有效方法之一.在研究非线性方程奇性的同时，可以得到很多其他有意义的重要结果，如Bäcklund变换和严格解等.

本文运用奇性方法研究(3+1)维Burgers方程的Painlevé性质;运用截断Painlevé展开给出3+1维的Burgers方程的Bäcklund变换；运用Bäcklund变换来给出一些严格解.

1 3+1维Burgers方程的Painlevé性质

一个非线性方程的Painlevé性质被定义为：若一个非线性方程的所有解的所有奇性都是极点型的，则称该方程具有Painlevé性质.

对于3+1维的Burgers方程(2)～方程(4),若它具有Painlevé性质，则有下述表达式：

为了保证所有的奇性，展开式(7)中的f～0必须为任意函数；由于方程……