王 铭, 何金苏, 沈卫平

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

Banach空间中非线性算子方程

f(x)=0

(1)

的求解问题在数学理论及应用领域上有着较为广泛的应用.其中, f是从实的或复的Banach空间X的某个凸区域D到同型空间Y的连续Fréchet可微的非线性算子.通常在求解非线性方程(1)时,最常用的方法是Newton法，具体的迭代公式为

xn+1=xn-f′(xn)-1f(xn).

(2)

关于Newton法的收敛性分析通常可以分为2种类型:局部收敛性分析和半局部收敛性分析.局部收敛性分析是指先假设方程(1)的解x*存在,然后找到以x*为球心的一个邻域D,使得式(2)产生的序列在D内收敛[1-3].半局部收敛性分析则在没有假定方程组解存在的情况下,只根据初始近似x0满足的局部条件,就可以确保迭代序列的收敛性[1-4].在Newton法的半局部收敛性分析所得的结果中,最为著名的是Kantorovich定理[5],它为有界的二阶可导算子f "或者一阶可导Lipschitz连续算子提供了简单易懂的收敛准则.另外一个重要的定理是Smale′sα理论[6].至于利用优序列的方法考虑Newton法的收敛性[1-2,4,6],王兴华等[2]找到了最好的α判据,彻底改进了Smale′sα理论.而且,文献[6]引进了γ-条件,再次讨论了α判据,对Smale的点估计理论作了推广.

由式(2)知,使用Newton法求解方程(1)时,每步迭代都需要精确地求解方程

f′(xn)(xn+1-xn)=-f(xn).

(3)

从实际计算角度看,有时会使得Newton法无效,尤其当f ′(xn)很大且稠密时.但可采用线性迭代求解方程(3)的近似解,不用直接精确地求解方程(3),这样可以大大减少计算量.这种方法称为非精确Newton法.通常,非精确Newton法具有如下形式:

算法1给定初……