雷丽霞,王天娇,南华*

(1.延吉市第七中学 教导处,吉林 延吉 133000；2.延边大学理学院 数学系, 吉林 延吉 133002)

0 引言

本文利用C2⊗C6空间的特点,通过对比不可扩展的最大纠缠基的概念,给出了最大纠缠基的概念,即给出了一组完全由最大纠缠态组成的C2⊗C6空间的完备基,并通过构造C6的一个酉矩阵,以其为过渡矩阵,得到了C2⊗C6空间上的另一组完备的最大纠缠基,最后证明了这两组基是互不偏的.

1 C2⊗C6中的不可扩展最大纠缠基与最大纠缠基

在量子系统的研究中，由纠缠基的概念引发了许多具有不同纠缠程度的其他的基底的研究,例如:直积基、不可扩展的直积基、不可扩展的最大纠缠基.

定义1[8]一个态矢的集合{|φi〉∈Cd⊗Cd′:i=1,2,…,n,n

定义2一个态矢的集合{|φi〉∈Cd⊗Cd′:i=1,2,…,dd′}称为最大纠缠基(简记为MEB)当且仅当:(i)|φi〉,i=1,2,…,dd′是最大纠缠态；(ii)〈φi|φj〉=δij,∀i,j=1,…,dd′.

文献[8-9]研究了不可扩展的最大纠缠基，并构造了由完备化的UMEB构成的无偏基.本文将在C2⊗C6空间中构造由最大纠缠态组成的最大纠缠基.

设{|0〉,|1〉}和{|0′〉,|1′〉,|2′〉,|3′〉,|4′〉,|5′〉}分别是C2和C6中的一组标准正交基，考虑C2⊗C6中的态矢：

(1)

其中σi(i=1，2，3)是Pauli矩阵,σ0=I2是2×2的单位矩阵.可以验证(1)式中的12个态矢都是最大纠缠的,同时两两正交，因此(1)式构成了C2⊗C6中的一组完备的最大纠缠基.

2 用C2⊗C6的MEB构造MUB

利用上述在C2⊗C6空间中构造MEB的方法,构造两组两两无偏的MEB.设矩阵

类似于(1)式中的结果,可以构造C2⊗C6的另一组完备的MEB：

(2)

其中σi(i=1，2，3)是Pauli矩阵,σ0=I2是2×2的单位矩阵.

定理1在两体量子系统C2⊗C6中，两组最大纠缠基(1)与(2)是两两互不偏的.

证明从两组MEB中分别任取一个态作内积,如:

通过进一步计算可得

故两组完备的MEBs(1)和(2)是MUBs.

参考文献：

[1] Raynal P, Lu X, Englert B-G. Mutually unbiased bases in six dimensions:the four most distant bases [J]. Phys Rev A, 2011,83:062303.

[2] Durt T, Englert B-G, Bengtsson I, et al. On mutually unbiased bases [J]. Int J Quant Inform, 2010,8:535.

[3] Brierley S, Weigert S, Bengtsson I. All mutually unbiased bases in dimension two to five [J]. Quant Inform Comput, 2010,10:803-820.

[4] Mcnulty D, Weigert S. The limited role of mutually unbiased product bases in dimension 6 [J]. J Phys A:Math Theor, 2012,45(10):102001.

[5] Wiesniak M, Paterek T, Zeilinger A. Entanglement in mutually unbiased bases [J]. 2011, arXiv:1102.2080v3[quant-ph].

[6] Bennett C H, Wiesner S J. Communication via one-and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states [J]. Phys Rev Lett, 1992,69:2881-2884.

[7] Li Z G, Zhao M J, Fei S M, et al. Mixed maximally entangled states [J]. Quant Inform Comput, 2012,12(1/2):63-73.

[8] Nan H, Tao Y H, Zhang J. Unextendible maximally entangled bases and mutually unbiased bases inCd⊗Cd′[J]. Int J Theor Phys, 2014:DOI10.1007/s10773-014-2288-1.

[9] 苑普光,张秀丽,杨潇,等.C3⊗C8中不可拓展的最大纠缠基和互不偏基 [J].延边大学学报：自然科学版，2014,40(3)：215-219.