张 清，郑赣鸿，戴振翔，马永青

（安徽大学 物理与材料科学学院， 安徽 合肥230039）

静电场中的唯一性定理

张 清，郑赣鸿，戴振翔，马永青

（安徽大学 物理与材料科学学院， 安徽 合肥230039）

唯一性定理是解决静电磁场问题的重要理论依据，应用构造恰当函数的技巧和一些数学运算，从给定的边界条件出发，本文给出了静电场唯一性定理的证明，最后给出了唯一性定理关于静电场实际问题的应用举例.

电动力学；唯一性定定理；边界条件

静电场中的唯一性定理是电动力学中的重要定理，在郭硕鸿的《电动力学》已经给出非常清晰的证明.但是还是有必要对静电场的唯一性定理给出一个统一的系统证明，为解决静场问题提供理论依据.本文从边界条件出发，论证了唯一性定理的内在逻辑的合理性，最后给出实例，深化了对唯一性定理的认识.

1 静电场边界条件

对于介质表面，用下标i和j表示界面两侧，n表示界面法线方向的单位矢量，从i侧指向j侧.σ0表示自由电荷面密度.则：

由于界面电场处处不发散的条件，界面两侧的电势应当在界面上连续.则上式可化为关于电势的边值关系：

2 静电场唯一性定理的证明

2.1 区域内无导体情形

若所研究的区域V可以均匀分区成若干的Vi，即：

每个均匀区域的电容率为εi，给定自由电荷分布ρ(x)，则φ满足泊松方程：

区域内两个电解质界面处σ0=0，因而

此外，给定V边界S电势分布φ|S=f或电势在边界上的方向导数

则：V内的电场唯一确定，既满足泊松方程及边值关系的解是唯一的.

证明假设存在两组不同的解φ1和φ2，且φ1和φ2都满足泊松方程：

现构造一个新函数：φ=φ1-φ2

则在每个区域Vi内：▽2φ=▽2φ1-▽2φ2=0

两均匀区域界面满足边值关系：

在区域V边界S上：

构造区域Vi的界面Si上的面积分：

对所有Vi上的积分求和：

在两均匀区域Vi和Vj的界面上，φ和ε▽φ的法向分量分别相等，而面积元dSi=-dSj；因此在内部分界面上的积分互相抵消.在V边界S上的积分，由于在上：

φ|S=φ1|S-φ2|S=0或

因为被积函数εi(▽φ)2≥0

则：▽φ=0φ1-φ2=const

因而，φ1和φ2至多相差一个常量，但电势的附加量对电场没有影响，即所得到的电场唯一确定.

2.2 区域内有导体存在情形

区域V内含导体的情形分两种类型进行讨论.

设除去导体以后的区域为V1，因此V1的边界包括界面S以及每个导体的表面Si.设V1内有给定的电荷分布，S上给定 φ|S或.同时给定每个导体上的电势φi，即给出每个导体V1所有边界上的 φ|S或值.对于此种情形，已经证明.

第二种类型是：

给定各导体上总电荷Qi以及V边界上的φ或值，则V内电场唯一确定.

即：假设导体以外满足泊松方程：

且在第i个导体上满足

二是加快完善流域水利规划体系。进一步完善流域综合规划体系，海河流域综合规划获得国务院批复，独流减河口综合整治规划治导线调整报告、拒马河流域综合规划通过水规总院审查，流域水中长期供求规划、滹沱河、蓟运河、滦河等工程规划取得阶段性成果。

证明假设存在两组不同的解φ1和φ2.且φ1和φ2都满足泊松方程：

现构造一个新函数：φ=φ1-φ2

则在每个区域Vi内：▽2φ=▽2φ1-▽2φ2=0

φ|s=0或

对于区域Vi构造面积分：

面积分包括V的边界S及每个导体表面Si上的积分.作为Vi上的边界，Si的法线指向导体内部.在Si上的积分：

即▽φ=0φ1-φ2=const

可见，φ1和φ2只是相差一个常数，因此所得到的电场唯一确定.

综合以上两种情形，在给定的边界条件下，满足泊松方程及边值关系的电场唯一确定.

3 结论

从静场的角度论证电动力学中的唯一性定理已完成.在时变电场中论证唯一性定理和在运动的参考系下即相对论情形下论证电磁张量的特定给定的边界条件下的唯一性定理是今后进一步的研究工作.

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A

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