王颖汝

(河南省社旗县科技局，河南省社旗县473300)

一种加法交换律和结合律的验证方法

王颖汝

(河南省社旗县科技局，河南省社旗县473300)

依据“数位对齐、逢十进一”的运算法则，结合十进制加法表，给出了验证加法交换律与结合律的一种方法。

加法交换律;加法结合律;验证

一、加法交换律的验证

加法交换律用文字描述即“两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变”，用字母表示即:“a+b=b+a”。下面，对其进行具体验证。

(一)设定证明中使用的代数符号

(1)在加法交换律中，使用到两个加数，在本证明中，暂且假定两个加数均为自然数。

假设第一个加数的代表符号为“Q1B1S1G1”，是一个4位数的加数，其最右侧的“G1”代表的是个位上的数字(“G”是“个”的拼音字母首写)，其他依次类推，即“S1”代表的是十位上的数字，“B1”代表的是百位上的数字，“Q1”代表的是千位上的数字。

假设第二个加数的代表符号为“W2Q2B2S2G2”，是一个5位数的加数，其字母的含意同上。

(2)对于未交换位置之前的“Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2”，列成竖式可以表示成图1:

图1 未交换加数位置时的加法竖式

图2 交换加数位置之后的加法竖式

在上图中，符号的含意如下:

“W12Q12B12S12G12”——代表未交换加数位置时得到的和值。

“JS①”——代表个位相加(即“G1+G2”)之后向十位进位的值。

“JB①”——代表十位相加(即“S1+S2+JS①”)之后向百位进位的值。

“JQ①”——代表百位相加(即“B1+B2+JB①”)之后向千位进位的值。

(3)对于交换位置之后的“W2Q2B2S2G2+ Q1B1S1G1”，列成竖式可以表示成图2:

在上图中，使用的符号的含意如下:

“W21Q21B21S21G21”——代表交换加数位置之后得到的和值。

“JS②”——代表个位相加(即“G2+G1”)之后向十位进位的值。

“JB②”——代表十位相加(即“S2+S1+JS②”)之后向百位进位的值。

“JQ②”——代表百位相加(即“B2+B1+JB②”)之后向千位进位的值。

(4)其验证思路是:如果要验证“Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2=W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”，只需要验证“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”即可。要验证“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”，只需要验证“G12=G21”、“S12=S21”、“B12=B21”、“Q12= Q21”、“W12=W21”(即两个和值之中各个对应位上的值相等)即可。

(二)验证“G12=G21”成立过程

(1)一般列竖式进行运算时，首先进行个位上的计算，即“G1+G2”;如果交换两个加数的位置，则计算的是“G2+G1”。

(2)在十进位制中，上述“G1、G2”的实际值的范围只可能处于“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”之中，“G1+G2”的可能的组合形态可以通过排列组合的方式把所有可能的组合形态全部列举出来，共有100种(和“加法口诀表”的内容一致)，针对每一种具体的“G1、G2”组合，分为两大方面进行计算、比较［1］:

第一方面是当两个加数未交换时，计算“G1+ G2”的值，进而可得“JS①”、“G12”的值;第二方面是当两个加数交换位置之后，计算“G2+G1”的值，进而可得“JS②”、“G21”的值。

以上计算可以借助计算机数据库技术快捷地实现，由于数据较多，在此未一一列出。

(3)对以上计算的“G12”、“G21”逐对进行比较可知，对于任意的“G1、G2”组合形态，交换加数位置之前、之后(即把“Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2”交换为“W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”)，“G12=G21”均成立，即是说，和值之中的个位上的值保持不变。

(三)统计个位向十位上进位值的所有不同情况

对在上个步骤中计算的“JS①”、“JS②”进行完全统计，发现可以分为两类不同的情况:

(1)“JS①=0，同时JS②=0”(简写为“JS①=0‖JS②=0”):

即“G1+G2=G2+G1”的和值是一位数、不需要向十位上进位的情况(这种情况下可以认为进位值为0，此时，“G1+G2=G12”、“G2+G1=G21”)。

(2)“JS①=1，同时JS②=1”(简写为“JS①=1‖JS②=1”):

即“G1+G2=G2+G1”的和值是两位数、需要向十位上“进位”的情况(这种情况下，“G1+G2=10+ G12”、“G2+G1=10+G21”)，例如“9+6=15”进“1”留“5”，而“6+9=15”也是进“1”留“5”。

(四)验证两个加数交换位置之前、之后的和值之中的十位上的值保持不变

在本步骤中，实际上需要验证的就是“S12= S21”成立。利用排列组合知识可知，十位上的数字“S1、S2”共有100种可能的组合形态。同时，在两个加数交换位置之前、之后，从个位向十位上的进位值共有两类不同的情况，那么，十位上的“S1、S2”和实际的“JS①、JS②”之间共可以得到100×2= 200种组合形态，可以利用排列组合知识把这200种组合形态全部罗列出来，针对每种具体的“S1、S2、JS①、JS②”，分为两大方面进行计算、比较:第一方面是当两个加数未交换时，计算“S1+S2+JS①”的值，进而可得“JB①”、“S12”的值;第二方面是当两个加数交换位置之后，计算“S2+S1+JS②”的值，进而可得“JB②”、“S21”的值。可借助计算机数据库技术快捷地实现［2］。

对以上计算的“S12”、“S21”逐对进行比较可知，对于“S1、S2、JS①、JS②”的任意实际值，交换加数位置之前、之后，“S12=S21”均成立，即是说，和值之中的十位上的值保持不变。

(五)统计十位向百位上进位值的所有不同情况

对在上个步骤中计算的“JB①”、“JB②”进行完全统计，可得到全部共有两类不同的情况:

(1)“JB①=0‖JB②=0”:

即交换之前、之后均不需要进位。

(2)“JB①=1‖JB②=1”:

即交换之前、之后均需要进位，进位值均为1。

(3)证明两个加数交换位置之前、之后的和值之中的百位上的值保持不变，即证明“B12= B21”成立。

利用排列组合知识可知，“B1、B2”和实际的“JB①、JB②”的全部可能的组合与上文步骤(四)中“S1、S2”、“JS①、JS②”是完全一样的，因此，和步骤(四)的验证过程一样，也可以验证“B12=B21”成立。

同理，也可验证“Q12=Q21”、“W12=W21”均成立。可见，验证过程中出现了重复现象，这是本证明的关键。

综上所述，能够完全证明“G12=G21”、“S12= S21”、“B12=B21”、“Q12=Q21”、“W12=W21”，故而“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”(二者是同一个数)，故而“Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2= W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”成立。

在上文中，是以一个4位自然数和一个5位自然数为例子进行证明，可推而广之，对于任意长度的自然数或小数，均可以证明加法交换律的成立，用字母表示即“a+b=b+a”。至此，加法的交换律全部验证完毕。

二、加法结合律的验证

加法结合律用字母表示即:“(a+b)+c=a+(b +c)”。下面为其具体验证过程。

(一)设定证明中使用的代数符号

(1)在加法结合律中，使用到三个加数，在本证明中，暂且假定三个加数均为自然数。假设第一个加数的代表符号为“Q1B1S1G1”，第二个加数的代表符号为“W2Q2B2S2G2”，第三个加数的代表符号为“Q3B3S3G3”，其中各个字母符号所在的位置含意，与前文加法交换律证明中步骤的一样。实际上要验证的就是:“(Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2)+Q3B3S3G3=Q1B1S1G1+ (W2Q2B2S2G2+Q3B3S3G3)”

(2)对于“(Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2)+ Q3B3S3G3”(即前两个加数进行结合)，如果列成竖式，根据最原始的运算步骤，需要进行两轮加法运算，如图3:

图3 前两个加数结合时的加法竖式

在图3中，符号的含意如下:

“JS①”——代表第一轮相加时，个位相加(即“G1+G2”)之后向十位进位的值。

“JB①”——代表第一轮相加时，十位相加(即“S1+S2+JS①”)之后向百位进位的值。

“JQ①”——代表第一轮相加时，百位相加(即“B1+B2+JB①”)之后向千位进位的值。

“W12Q12B12S12G12”——代表第一轮相加得到的和值。

“JS②”——代表第二轮相加时，个位相加(即“G12+G3”)之后向十位进位的值。

“JB②”——代表第二轮相加时，十位相加(即“S12+S3+JS②”)之后向百位进位的值。

“JQ②”——代表第二轮相加时，百位相加(即“B12+B3+JB②”)之后向千位进位的值。

“W123Q123B123S123G123”——代表第二轮相加得到的最终的总和值。

(3)对于“Q1B1S1G1+(W2Q2B2S2G2+ Q3B3S3G3)”(即后两个加数进行结合)，如果列成竖式，根据最原始的运算步骤，需要进行两轮加法运算，如图4:

图4 后两个加数进行结合时的加法竖式

在图4中，使用的符号的含意如下:

“JS③”——代表第一轮相加时，个位相加(即“G2+G3”)之后向十位进位的值。

“JB③”——代表第一轮相加时，十位相加(即“S2+S3+JS③”)之后向百位进位的值。

“JQ③”——代表第一轮相加时，百位相加(即“B2+B3+JB③”)之后向千位进位的值。

“W23Q23B23S23G23”——代表第一轮相加得到的和值。

“JS④”——代表第二轮相加时，个位相加(即“G1+G23”)之后向十位进位的值。

“JB④”——代表第二轮相加时，十位相加(即“S1+S23+JS④”)之后向百位进位的值。

“JQ④”——代表第二轮相加时，百位相加(即“B1+B23+JB④”)之后向千位进位的值。

“W231Q231B231S231G231”——代表第二轮相加得到的最终的总和值。

(二)证明三个加数相加，应用加法结合律之前、之后的总和值之中个位上的值是相等的(或保持不变):

利用排列组合知识可知，在三个加数的个位上，“G1、G2、G3”共有1000种可能的组合形态，下面，针对每一种具体的组合形态，分为两大方面进行计算、比较:

第一方面是当把前两个加数进行结合时，计算“G1+G2”的值，进而可得“JS①”、“G12”、“G12+ G3”、“JS②”、“G123”的值;第二方面是当把后两个加数进行结合时，计算“G2+G3”的值，进而可得“JS③”、“G23”、“G1+G23”、“JS④”、“G231”的值。可借助计算机数据库技术快捷地实现。

对以上计算的“G123”、“G231”逐对进行比较可知，对于“G1、G2、G3”的任意实际值组合，最终的“G123=G231”均成立，即是说，应用加法结合律之前、之后，最终的总和值的个位上的值保持不变。

(三)统计个位向十位上进位值的所有不同情况

对在上个步骤中计算的“JS①、JS②、JS③、JS④”进行完全统计，可得到全部共有6种不同情况，分别如表1:

表1 个位向十位上进位值的所有不同情况

(四)证明三个加数相加，应用加法结合律之前、之后的总和值之中的十位上的值是相等的(或保持不变)

利用排列组合知识可知，在三个加数的十位上，“S1、S2、S3”共有1000种可能的组合形态。同时，从个位向十位上的进位值实际共有6类不同的情况，那么，十位上的“S1、S2、S3”和实际的“JS①、JS②、JS③、JS④”之间共可以得到1000×6= 6000种新的组合形态，下面，针对每种具体的组合，分为两大方面进行计算、比较:

第一方面是当把前两个加数进行结合时，计算“S1+S2+JS①”的值，进而可得“JB①”、“S12”、“S12+S3+JS②”、“JB②”、“S123”的值;第二方面是当把后两个加数进行结合时，计算“S2+S3+JS③”的值，进而可得“JB③”、“S23”、“S1+S23+JS④”、“JB④”、“S231”的值。同样可借助计算机数据库技术快捷地实现。

对以上计算的“S123”、“S231”逐对进行比较可知，对于“S1、S2、S3”的任意实际值，“S123=S231”均成立，即是说，应用加法结合律之前、之后，三个加数的最终的总和值的十位上的值保持不变。

(五)统计十位向百位上进位值的所有不同情况

对在上个步骤中计算的“JB①、JB②、JB③、JB④”进行完全统计，可得到全部共有6种不同情况，分别如表2:

表2 十位向百位上进位值的所有不同情况

(六)对向十位上和向百位上的实际进位值情况进行比较

通过比较表1和表2可知，“JS①、JS②、JS③、JS④”和“JB①、JB②、JB③、JB④”的实际情况都有6类，并且是完全相同的(不考虑出现次数)。

(七)证明三个加数相加，应用加法结合律之前、之后的总和值之中的百位上的值是相等的(或保持不变)

利用排列组合知识可知，“B1、B2、B3”、“JB①、JB②、JB③、JB④”的全部可能的组合与“S1、S2、S3”、“JS①、JS②、JS③、JS④”是完全一样的，因此，和步骤(四)的道理一样，也可以证明“B123=B231”成立。同理，也可证明“Q123=Q231”、“W123=W231”均成立。

综上所述，能够完全证明“G123=G231”、“S123=S231”、“B123=B231”、“Q123=Q231”、“W123=W231”均成立，故而“W123Q123B123S123G123=W231Q231B231S231G231”成立(或者说二者是同一个数)。故而“(Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2)+Q3B3S3G3= Q1B1S1G1+(W2Q2B2S2G2+Q3B3S3G3)”成立。

在上文中，是以一个4位自然数、一个5位自然数和一个4位自然数为例子进行证明，推而广之，对于任意长度的自然数或小数，均可以证明加法结合律的成立，用字母表示即“(a+b)+c=a+(b +c)”。

三、结语

证明了加法交换律的成立和结合律的成立，以此为基础，可容易地证明对于具有任意多个加数的加法算式，加法交换律和结合律仍然成立，用字母表示即“(a+b)+c=a+(b+c)”。

［1］张景中，彭翁成.数学哲学［M］.北京:北京师范大学出版社，2010.

［2］［德］费雷格.王路，译.算术基础［M］.北京:商务印书馆，2010.

［责任编辑 程光辉］

A Verification Method of Commutative Law of Addition and Combination Law

WANG Ying-ru
(Technology Bureau of Sheqi County，Sheqi 473300，Henan)

On the algorithm basis of digital alignment algorithms，dotting and carrying one，combined with the decimal addition table，a verification method of commutative of addition and combination law is presented.

commutative law of addition;associative law of addition;verification

10.3969/j.issn.1672-0342.2014.01.004

O121.1

A

1672-0342(2014)01-0011-05

2014-01-04

王颖汝(1972-)，男，河南社旗人，河南省社旗县科技局工程师，研究方向为三维及数字自然技术。