■江思容

数学解题常用的六种逆向思维方法

■江思容

数学学习离不开思维，思维能力的发挥和思维活动的发展决定了学习效果的高低。只有科学地把握思维特点，才能够从总体上把握事物的本质特征。在教学解题中常常运用逆向思维，它大致有六种常用方法。

一、反客为主

反客为主，换而言之，就是要将常量当作变量，将变量当作常量，变量与常量既统一，又互相转化，是一个相互矛盾的统一体。反客为主的思维方法是一种很好的思维方法。

例1当m是什么整数时，关于x的方程x2－（m－1）x+m+1=0的两根都是整数？

【方法导引】因为关于x的方程有解，那么关于m的方程也应有解，且解都是整数，故先解关于m的方程。

解：以m为主元，已知方程化为（x－1）m=x2+x+1

∴x－1=±1，±3，

∴x=2，0，4，－2

把x以上述值依次代入m的表达式得：m=7或－1。

二、无中生有

有时需要巧妙地造出与原问题有关的新元素和新模型来对某些数学问题进行解决，这就是无中生有。

（1）若方程没有实数根，求p的范围。

（2）若p>0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根。

【方法导引】首先要弄清无理方程没有实根的含意是将其换元后所得的一元二次方程的解求出，令其解小于零，这样就可以求出p的范围。

解这个不等式组得，－2＜p＜0

（2）∵p>0，把y1=p代入①得

而y2=－2－p＜0（不合题意，舍去）

将②式平方，整理得

x2+2x－（p2－2p）=0③

令Δ=4+4（p2－2p）

=4（p2－2p+1）=4（p－1）2=0

解之得：p=1

当p=1时，原方程有两个相等实根，把p=1代入③得x2+2x+1=0，

∴x1=x2=－1，经检验，当p=1时，

x1=x2=－1是原方程的根。

三、声东击西

提出一个问题往往比解决一个问题更重要,因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提……