文 军

(渭南师范学院物理与电气工程学院,陕西渭南 714099)

【物理与电气工程研究】

以量子围栏中的单粒子为工质的量子卡诺循环

文 军

(渭南师范学院物理与电气工程学院,陕西渭南 714099)

构造了以量子围栏中的单粒子为工作物质的量子卡诺循环模型,量子围栏的哈密顿量期望值相当于经典卡诺循环中热源的温度,该量子卡诺循环由两个等能(等温)过程和两个绝热过程组成.分析得到,量子围栏卡诺循环的等温过程和绝热过程与经典卡诺循环的等温过程和绝热过程相似,推得量子卡诺循环的效率表示式,该表示式与经典可逆卡诺循环效率的表示式类似.

卡诺循环;量子围栏;循环效率

以理想玻色气体、理想费米气体、自旋1/2系统、谐振子系统、势阱中的微观粒子等为工作物质的循环系统称为量子热力学循环.量子热力学循环的分析已经成为热力学、工程热力学、统计物理、量子物理和激光等领域研究的课题之一[1-4].Bender等人[5]提出了以处在一维无限深势阱中单粒子为工作物质的二能级热机,当势阱壁缓慢移动时,热机经历了两个等系统能量(量子“等温”)过程和两个量子绝热过程,而构成一循环并且对外输出功,同时得到了该量子热机的卡诺效率.何济洲等人分析了以一维无限深势阱中极端相对论粒子为工质的卡诺循环和一维谐振子势阱中单粒子为工作物质的量子热机性能[6-8].本文根据量子力学基本原理,构造了以量子围栏中的单粒子为工作物质的二能级量子卡诺循环模型,量子围栏就相当于经典卡诺循环的活塞壁,量子围栏的变化相当于活塞的移动,用系统哈密顿量期望值代替经典热力学中的温度,这样即存在可逆“等温”过程和绝热过程.通过计算得到了与经典可逆卡诺热机循环效率类似的量子卡诺循环效率表示式.

1 经典卡诺循环

经典卡诺循环是由两个绝热过程和两个等温过程组成的循环过程.在经典卡诺循环中,系统从高温热源吸收热量QH,对外做功W,循环效率为

用TH和Tc分别表示高温热源和低温热源的温度,卡诺循环的效率也可表示为

经典卡诺循环中以理想气体为工作物质,理想气体的状态方程为

其中：P是理想气体压强,V是理想气体体积,N是理想气体分子数,k是玻尔兹曼常数.

等温过程中,系统和热源始终保持接触,系统的温度不变.故等温过程中,理想气体遵循

其中：C1是常数.对于工作物质为一维单原子理想气体的卡诺循环,气体的内能满足

在等温过程中,系统的内能始终保持不变.

绝热膨胀过程中,气体和外界无热量交换.因此,活塞移动(气体的体积改变,但系统始终保持平衡),气体对外界做功,气体的内能转变为机械能.系统对外界所做的元功为

根据热力学第一定律,在绝热过程中

由(3)(5)(7)等式得到绝热过程的状态方程中满足

其中：C2为常数.

2 量子围栏卡诺循环

2.1 量子围栏的波函数和能级

被禁固在量子围栏中的单粒子受到的束缚势表示为

其中：a是量子围栏的半径,设单粒子的有效质量为m*,则单粒子运动的Schrödinger方程为

由于粒子限制在量子围栏中,在r≥a的区域没有粒子,有ψ=0.在0≤r≤a区域,有

其中：

波函数设为

代入(11)式中,分离变量得到

方程(15)的符合物理条件的解为

其中：A为待定常数.方程(14)式是关于r的Bessel方程,其通解是第1类Bessel函数Jm(αr)和第2类Bessel函数Ym(αr),即

第2类Bessel函数在r→0时发散,根据波函数标准条件,当r→0时,R(r)有限.因而上式中D=0,则

其中：N是归一化常数,由归一化条件决定,即

代入(18)式,得到体系波函数

能级

量子围栏中系统的定态波函数表示为

其中：bn满足

量子围栏系统的哈密顿的期望值为

2.2 量子围栏的卡诺循环

假设量子围栏像经典卡诺循环中活塞一样能够移动,当围栏半径a变化无限小量da时,系统的波函数、本征值和能级都会随之发生无限小变化.因此,定义作用在量子围栏上的力

把(22)式代入(25)式,得

在量子围栏等温过程中,由于围栏移动,围栏大小随着变化,但系统哈密顿期望值保持不变,这类似于经典等温过程.经典等温过程中系统始终和热源保持热接触,而量子等温过程可以认为系统和外界通过输入或输出能量的方式来实现.系数|bn|2,即量子围栏系统处于各种不同量子态的几率必须在此过程中变化使系统能量的平均值恒定,但必须满足(24)式的归一化条件.

在量子绝热过程中,量子围栏移动,围栏大小改变.但绝热过程系统一直保持平衡,因此系数|bn|2必须保持不变,系统处于各量子态的几率不变,也就是绝热过程中系统所处的量子态保持不变.根据关系(22)和(25)两式,在绝热膨胀(压缩)过程中,随着量子围栏半径a增大(减小),能量的本征值减小(增大).因此,系统能量的平均值减小(增大).

图1表示只有两个本征态(二能级系统)组成的量子围栏卡诺循环系统,在1→2→3→4→1的循环中,各个过程的分界点分别为1,2,3和4,各分界点分别对应的量子围栏的特征半径分别为a1,a2,a3和a4.整个循环包括2→3与4→1两个绝热过程和1→2与3→4两个等温过程.

3 量子围栏卡诺循环分析

图1 量子卡诺循环示意图

(1)假设量子围栏等温膨胀,系统的哈密顿量期望值保持不变,系统状态由基态a1处经过1→2等温膨胀到第一激发态a2,系统能量平均值为Eh.这时量子围栏的状态是最低两个能量本征态的线性叠加,即

在循环起始系统处于基态,则

1→2等温过程中,系统哈密顿量期望值恒定不变.根据(24)式,有|b1|2+|b2|2=1,则

由(29)(30)两式得

当b1=0,b2=1时,量子围栏达到特征半径a2=λa1处,这时粒子处于激发态.量子围栏受到的作用力为

由此可知,量子围栏在等温过程中满足

其中：C忆1为常数.

(2)绝热膨胀2→3过程中,系统一直处于第1激发态,量子围栏特征半径由a=a2绝热膨胀到a=a3,根据热力学第一定律得到

其中：El表示3→4等温过程中系统的哈密顿量期望值.

(3)系统经过3→4等温压缩,量子围栏由a=a3等温压缩至a=a4,这时系统要释放能量以保持哈密顿值不变,这个过程使系统由第1激发态回到了基态.同理可知量子围栏特征半径a4=λ-1a3,这时在低温压缩中哈密顿期望值El表示为

同理,量子围栏受到的作用力为

同理,3→4等温压缩过程满足

其中：C忆2为常数.(33)(37)两式和经典卡诺循环中等温关系(4)相似.

(4)绝热压缩4→1过程中,量子围栏由a=a4回到起点a=a1.这个过程中系统对外作功W41等于系统内能的改变,即

考虑热机输出功率W=W12+W23+W34+W41,根据(32)(34)(36)(38)等式得到量子围栏卡诺循环的输出功率

在等温膨胀过程中系统从外界吸收的热量

循环效率

根据(29)式和(35)式,量子围栏效率亦可表示为

上式即是量子围栏卡诺循环效率公式,它与经典卡诺循环效率公式类似.

4 结语

文中讨论了以量子围栏中的单粒子为工作物质的量子卡诺循环的效率.量子围栏系统中的哈密顿量期望值相当于经典卡诺循环中热源的温度,分析了量子围栏卡诺循环的等温过程和绝热过程,得到了与经典卡诺循环相似的卡诺循环效率的表示式.在经典卡诺循环中,气体的膨胀过程和压缩过程必须是准静态过程,活塞的移动无限缓慢,循环周期无穷大.因此经典卡诺循环是一种理想模型.而量子卡诺循环在宏观任意有限时间内都存在可逆性.

[1]Sayginh,Sisman A.Brayton Refrigeration Cycles Working Under Quantum Degeneracy Conditions[J].Appl Energy,2001,69：77-85.

[2]He J,Chen J,Hua B.Quantum Refrigeration Cycles Using Spin-1/2 Systems as the Working Substance[J].Phys Rev.E,2002, 65：036145.

[3]Lin B H,Chen J C.General performance charactersitics of a quantum heat pump cycle using harmonic oscillators as working substance[J].Physics Scripta,2005,71：12.

[4]陈金灿,苏国珍.热力学与统计物理学热点问题思考与探索[M].北京：科学出版社,2010.171-217.

[5]Bender C M,Brody D C,Meister B D.Quantum Mechanical Carnot Engine[J].J Phys(A),2000,33：4427-4436.

[6]何济洲,骆成洪,吴评.谐振子量子制冷循环[J].低温物理学报,2004,(4)：334-342.

[7]王建辉,何济洲,辛勇.量子卡诺循环[J].南昌大学学报,2006,30(2)：175-178.

[8]王建辉,熊双泉,何济洲,等.以一维谐振子势阱中的单粒子为工质的量子热机性能分析[J].物理学报,2012,61(8)：111-116.

【责任编辑 牛怀岗】

Analysis of a Quantum Carnot Cycle on Working with Single Particle in Quantum Corral

WEN Jun
(School of Physics and Electrical Engineering,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

The classical Carnot cycle is composed of two adiabatic processes and two isothermal processes.The classical reversible Carnot cycle can achieve the maximum efficiency.In this paper,the quantum Carnot cycle model is developed based on the single particle in quantum corral as the working material.The expectation value of Hamiltonian in quantum corral is analogous to the heat source temperature of classical Carnot cycle.This quantum Carnot cycle is composed of two equal-energy(isothermal)processes and two adiabatic processes.It is shown that the adiabatic and isothermal processes in quantum Carnot cycle are similar to those in classical one.The efficiency expression of quantum Carnot cycle can be figured out,which is similar to that in classical reversible Carnot cycle.

Carnot cycle;quantum corral;cycle efficiency

O413.1

A

1009-5128(2014)15-0013-05

2014-06-20

文军(1962—),男,陕西铜川人,渭南师范学院物理与电气工程学院教授,理学硕士,主要从事拉曼光谱和物理教学研究.