李光杰

根据十余年的课改实践，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）对数学“课程目标”做了一些修改。这些修改当中，有两处引起大家很多的关注：一是从数学教育的“双基”目标拓展到“四基”目标；二是从问题解决中的“两能”增加到“四能”。本文将以小学阶段为例，重点就“四基”产生的时代背景及价值内涵、如何有效落实“四基”目标、“四能”的价值内涵、“四能”的培养途径、“四基”与“四能”的定位与思考等五个方面进行梳理和探讨，希望能对数学“课程目标”这一“顶层设计”提供一个更全面的认识视角。

一、“四基”产生的时代背景及价值内涵

1. “四基”产生的时代背景

首先，“双基”教育值得我们正确地认识和评价。

我国的小学数学教育从上世纪六十年代初以来，就特别注重使学生获得数学的基础知识和基本技能，这两条目标后来被简称为“双基”。对此，广大数学教育工作者都曾耳濡目染，深以为然。当然，我们在肯定地评价“双基”目标的同时，也有必要对其进行一些反思。

第一，数学本质更多的在于它的思想，而不全在于它的结论。“双基”一般而言是对结论性知识的反映，如数学定义、概念、公式、法则等。正如日本著名数学教育家米山国藏在所著的《数学的精神、思想和方法》一书中所说：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。因此，数学教育不应仅仅满足于教给学生一些数学方法结论，而应该给学生以更多的数学精神、数学思想的启迪和浸润。

第二，从“双基”到“四基”是时代发展的必然。比如，在小学阶段，一些传统的内容需要删减，如繁、难、偏、旧而又脱离实际的课程内容及习题等。一些体现时代要求的内容需要增加，如统计、概率、数学综合与实践等。

因此，增加“数学基本思想”和“数学基本活动经验”有其必要性。

从数学课程目标的顶层设计来说，我们有必要提供一个“支撑”课程的更为科学的框架——这个框架就是“四基”。客观性的事实、结论性的知识体现的是基础知识和基本技能两方面的目标；在过程中学习主体获得的主观性体验与感悟体现的是基本思想和基本活动经验两方面的目标。因为，学生在数学方面的发展，不是简单地通过接受数学事实来实现的，而是需要通过自我组织数学知识、不断积累数学活动经验、个性化地领悟数学思想方法等来实现。只有这样，主观性的数学感悟体验、数学活动的结果与过程与客观性的知识技能的学习才能无缝对接，才能更好地为学生数学素养的提升和发展夯实基础。

从时代要求来看，“创新精神”和“实践能力”的培养已经成为中国未来教育改革和发展的首要目标。显然，要实现这样的目标，仅靠“双基”是难以支撑的。事实上，学生创新精神和实践能力的培养，既要掌握扎实的知识和技能，同时也要积累多样化的数学活动经验、学会数学的思考方式。作为新时代的“数学课程目标”，应该更鲜明地在这些“点”上反映对创新人才培养的要求。

2. “数学基本思想”“数学基本活动经验”的内涵与价值

对“双基”我们已经很熟悉，这里主要就“基本思想”“基本活动经验”进行简要分析。

首先，要认识数学基本思想的内涵与价值。

第一，什么是“数学基本思想”。数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性的认识，它是数学知识和方法在更高层次上的提炼与抽象。

数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想是数学的三个基本思想，其他思想由此派生。我们通过数学“抽象”，从客观世界中得到数学的概念、公理和法则，数学学科得以建立；通过数学“推理”，衍生得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学“建模”，把数学结论应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学的发展。

因此，抽象、推理与模型，这三种基本数学思想是影响学生在数学上的可持续发展，使其终生受益的核心数学思想。在数学知识形成、发展和应用的过程中都蕴含着数学思想，在小学阶段涉及的数学思想主要有分类、转化、归纳、对应、统计、抽象、符号、方程、模型、数形结合、随机、变中有不变等。

第二，“数学思想”与“数学方法”的关系。数学方法是指在运用数学思想解决具体问题时，形成的程序化操作。常见的数学方法有：合情推理的方法，演绎推理的方法，等价变形的方法，变量替换的方法等，此外穷举法，反证法，分析法，消元法，综合法，数学归纳法，递推法，列表法，图象法等也有广泛的应用。

实事求是地说，知识、方法、思想很难各自独立存在，按照过去的数学“大纲”的说法，“知识”包含“思想”和“方法”。如推理思想是数学中的重要思想，在数学的各个领域都有广泛的应用，在此思想指导下，有三段论、类比法、归纳法等具体的数学方法。新课标则是将思想和方法分开，认为方法包含在前“两基”里。把“思想”单独提出来，一是表明它的重要性，二也是担心其被淡化、边缘化。

一些数学方法可能是很重要的，但不具有一般性和普适性，把它作为一种数学思想去提倡和推广是不必要的，而且经过一段时间，学生很可能就忘却了，而抽象、推理、模型思想则不同。《课标》之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，主要就是要与中学阶段的换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。

数学思想与数学方法既有区别也有联系。如前所述，数学基本思想反映的是对数学对象的一种本质性认识，因而相对抽象；而数学方法表现相对具体，常常是受数学思想制约，并具有路径性、程序性和可操作性。如在计算组合图形面积时，我们会将不规则图形分割或者补全成为某种规则的图形进行计算，这其中主要体现的是转化或者说是化归的数学思想，采用的数学方法则是图形分割或补全的方法。

有时，数学思想和数学方法是不易区分的。例如“归纳思想”， 若具体应用于一个关于自然数命题结论的获得时，它就是所谓的“数学归纳法”（数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立）。而从一般意义上讲，它表现为从特殊到一般的思想。

其次，要认识数学基本活动经验的内涵与价值。

第一，数学基本活动经验是指学习主体通过亲身或间接经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。对于数学基本活动经验，建议不要从广义上理解，什么都是就等于什么都不是。生活中与数学有关的活动，如调查统计、购物、装修、旅行、投资理财、买彩票等；课堂上的数学活动，如观察物体、小组合作、动手操作学具、利用图形变换设计或者做游戏、掷硬币、摸球等等，所积累的经验都可以理解为数学活动经验。总之，数学基本活动经验是具有数学目标的学习活动的结果，它有别于日常生活经验。

第二，数学基本活动经验的分类。一些专家将数学基本活动经验分为四种类型，即直接的数学活动经验、间接的数学活动经验、设计的数学活动经验、思考的数学活动经验，应该说是概括得比较到位的。

直接的活动经验是指在与日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如校园设计、制作年历、购买物品等。而间接的活动经验是通过创设一定的数学情境、构建数学模型中所获取的数学经验，如抽屉原理、鸡兔同笼问题等。设计的活动经验是单纯的数学活动中所获得的经验，如抛硬币、随机摸球等。思考的活动经验是通过分析、归纳等方法获得的数学经验，如预测结果、探究成因等。

对于小学生来讲，数学活动经验最重要的是在多样化的数学活动中去思考、去探索、去发现的经验，而不仅仅是解题的经验、计算的经验。数学活动经验重在积累，因为在积累中所获得的丰富而有价值的经验往往是培养创新精神和实践能力的重要基础。

二、落实“四基”目标的路径与策略

数学课堂教学是科学性和艺术性的完美结合。这个过程实际上也是我们不断学习、不断思考创新、不断积累教学经验的过程。那么如何在课堂教学实践中寻求有效路径和策略，落实“四基”目标呢？具体来讲，可以从以下几个方面着手。

1. “基础知识”和“基本技能”的教学重在使学生“理解”

《课标》指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化”；“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理”。要使学生达到对“双基”的理解，教师在教学中要努力做到以下几点：一是小学数学的常规课堂教学，要尊重小学生的认知特点，加强直观引导，注重新旧知识之间的迁移，帮助学生获得正确、完整、丰富的表象，真正地理清前后知识之间的联系。二是对于有关数学基本操作技能的教学，教师要重视让学生明白其中的道理，而不仅仅是让学生记住这些程序和步骤。如给三角形作高，一般的操作方法是将三角尺的一条直角边与三角形的一条底边重合，平移三角尺，使另一条直角边经过相对的顶点，所作的垂线段就是这条底边上的高，就要让学生明白这样操作的道理，而不仅仅是会画。三是要有一定量的巩固训练。要让学生在理解的基础上去训练，讲究训练的实效性，使学生在知识的应用中真正地理解和掌握这些基础知识、基本技能。

2. 以知识和技能为载体，感悟数学基本思想

《课标》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”如对数的认识，开始认识数就是抽象的思想，简单的一个数字5，从5个物体→5根小棒→5个圆点→数字5，就给学生渗透了抽象的思想。所以，渗透数学基本思想是数学教学的精髓，而数学“双基”是其载体。总之，我们既要重视“双基”教学，更要注重以“双基”为载体，引导学生感悟数学基本思想。

3. 在“双基”教学重中注重数学基本活动经验的积累

《课标》特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”教师在课堂教学中，一方面要根据小学生的特点，设计有效的数学活动，让学生积极地参与数学的观察、猜测、推理、交流、操作、抽象、数据处理、符号表示、运算求解、建构与反思等，积累活动经验。另一方面要重视数学综合与实践活动课的教学。综合与实践活动要求学生能利用所学的数学知识完整地解决一个数学问题，每个版本的小学数学教材都有这一版块的内容，我们要让学生通过参加这些活动，更好地积累数学的基本活动经验。

三、“四能”的价值内涵

《课标》在课程总目标第二条明确提出：“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”对照原课标，增加了“发现问题”“提出问题”的要求，并且将其上升到能力培养的层次，我们要关注这个重要变化。

1. “四能”的内涵是什么

“发现问题的能力”对于小学生来讲指的是发现困惑、在显而易见之中发现“问题”的能力。这种“问题”是宽泛的，可能是知道了以前不曾知道的东西，或者是发现了书本上不曾教过的新观点、新方法、新难题等。“提出问题的能力”是指将某些问题用数学语言表达出来的能力，其实也就将发现的问题数学化的过程。“分析问题的能力”是指运用数学思维寻找条件与结论之间的逻辑关联的能力。“解决问题的能力”是指依靠前面的分析，运用数学模型，来解决问题的能力。

2. 为什么要强调培养学生“发现问题，提出问题”的能力

时代要求我们的教育要加强对学生创新精神的培养，发现和提出问题是创新的基础。与创新有关的思维与能力主要有两种：演绎思维及其能力、归纳思维及其能力。多年来，我国中小学数学基础教育对学生演绎思维的训练过于强调，而归纳思维及能力的培养和训练是相对薄弱的，从而给创新型人才的成长带来了一定的阻碍。运用演绎的思维方法不能发现真理，只能验证真理。

反思传统的小学数学课堂，我们的教学有时过于注重训练学生解决书本上现成问题的技巧，使得学生习惯于解决一些已经提出的问题，接受现成的结论（标准答案）。这就形成了解题能力强，但创新精神不足的状况。人们常说：发现结论比证明结论更重要。因此，我们要注重在日常教学中有意识地为学生提供这种基于发现的更有价值的数学活动。从我们的实践来看，结合小学生的年龄特点以及教学内容的实际要求，适时、适度地引导学生从日常生活中、具体情境中发现和提出数学问题是完全可行的。

四、在问题解决中培养学生的“四能”

从“两能”到“四能”，这样一个变化对我们的数学课程和课堂教学提出了新的命题。我们要注重在问题解决中培养和提高学生的“四能”水平。比如，培养“发现问题”的能力，就是要使学生逐步学会在现实与数学的具体情境中获得一些新的数学信息，用数学的眼光观察现实世界，通过一定的梳理、提炼和概括，并作出“是什么、为什么、能怎么”等数学方面的思考，寻找它们在数量关系、空间形态等方面的内在联系。又如，培养“提出问题”的能力，我们要引导学生在已经发现问题的基础上，恰当地运用数学语言、数学符号对问题作出恰当的数学抽象，并在特定的数学关系空间和逻辑线索中，将问题“数学地”表征出来。在教学中要有意识地多问学生“你发现了什么”“你想到了什么”或“你能提出什么数学问题”……引导学生发现某种数学事实、提出预答式数学问题或疑惑式数学问题。例如在“解决问题”（应用题）教学中，出示相关的数学信息（条件）后，教师不急于呈现教材例题中的规定问题，而是有意识地让学生根据已有信息提出不同的数学问题，并有选择地引学生解决这些问题。这就是在培养学生发现和提出问题的能力。不仅要让学生“有问”，还要让学生“会问”，因此我们还应有意识地教给学生发现和提出问题的基本策略，如类比、联想、归纳、构造逆命题、改变条件等。

这样一个发现问题、提出问题的过程是学生综合运用已有的数学知识、技能、思想方法乃至于经验进行数学抽象（数学化）的过程。加上进一步对问题作出分析，选择解决问题的策略、方法，最终获得问题的解决，整个数学问题解决的过程突出了创新精神和实践能力培养的要求，也体现了知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度等四维目标的要求。

五、“四基”“四能”的定位与思考

1. “四基”“四能”的基本出发点在于学生的发展

教育自古以来都是主动的。从人的成长规律来看，每个人都有受教育的需要和权利。新的时代要求教育必须培养创新人才，而创新人才的培养必须从基础教育抓起，从这个意义上来讲，从基础教育阶段就注重培养学生的创新精神和实践能力，是学生未来发展的需要。因而，促进学生全面的发展是“四基”和“四能”的基本定位。

2. “四基”是“四能”的载体，“四能”是“四基”的升华

“四基”与“四能”的关系是相互依存，相互影响的。学生正是在学习数学基础知识和形成基本数学技能的过程中尝试去发现和提出问题，利用积累的数学经验和思想方法去尝试分析和解决问题。掌握了扎实的基础知识和基本技能、积累了相应的数学基本活动经验、领悟了数学的一些基本思想（方法），是学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的基础；同时，学生发现和提出问题、分析和解决问题能力的提高，又能反过来促进学生更好的掌握基础知识和基本技能、积累了基本活动经验、领悟基本思想（方法）。因此，我们说“四基”是“四能”的载体，“四能”是“四基”的升华，二者相得益彰，互相影响，互相促进。

上面就“四基”“四能”的价值内涵以及关系定位作了一个简要的分析，可能不够全面，也可能有失偏颇。总之，不管是“四基”还是“四能”，我们都应整体地去把握，不宜割裂开来去单独谈“几基”或“几能”。至于如何更到位地处理好它们之间的关系，如何在课堂教学实践中寻求更为有效的途径具体落实“四基”目标、培养和提升“四能”水平，以便更好地深化小学数学课程改革实践，是值得我们今后进一步探究的问题。