薛凤忠，田 娇，王昭空，蔡永昌

（1.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2.中国水电顾问集团 中南勘测设计研究院，长沙 410014）

1 引 言

桩的竖向荷载的传递机制直接影响其承载力和沉降的确定。基桩的竖向荷载传递性状主要受桩自身性质、桩周岩体的性质、桩与岩体接触面的性质、桩与岩体所受荷载状况以及相互作用（相邻桩的相互作用、承台的影响、上下部共同作用）等因素的影响[1－3]。目前，国内外对于基桩竖向荷载传递机制的研究在理论分析、试验和数值模拟方面已经有很大的进展。用于计算桩的承载力和沉降的常用方法有传递函数法、剪切位移法、弹性理论法（连续体介质方法）、数值分析法、混合法等[4]。传递函数法主要用于单桩的承载性能分析计算。对于多桩桩-土、桩-桩、桩筏基础的相互作用，则用连续介质模型方法或混合法。岩体具有流变特性，建筑基桩的承载性能随着时间发生变化，因而也具有时间相关性。实际上桩的沉降、桩身轴力以及桩侧摩阻力等都是一个随时间逐渐发展的过程。关于桩基承载的时间效应方面，很多学者都进行了有益的探索。桩-岩接触面的性质对桩岩联合受力的状况有重要影响。大量的工程实践及试验表明，桩-岩接触面有显著的剪切流变现象，同时，桩端岩体的变形也是随时间逐渐增加的，而不是一次完成的，因此，基于以上方法寻求考虑地基岩体流变特性及桩-岩接触面剪切流变特性的桩基承载计算方法是十分有意义的。

本文在文献[5]的基础上进行了深入研究，首先介绍了双曲线荷载传递法，并提出了一种可考虑桩-岩接触面流变效应的迭代计算方法，然后将其应用于现场模型桩载荷试验的分析。对比结果表明，该迭代计算方法能够较准确地描述桩岩联合受力性状，理论计算与实测结果吻合较好，对桩基承载性能的设计有一定参考价值。

2 双曲传递函数法

根据位移协调法，将桩离散成许多桩段单元，如图1所示，桩与岩石接触面的相互作用可用一非线性弹簧描述，则弹簧的应力-应变关系即为传递函数的形式。荷载传递法的核心是传递函数的选择。大量的实测结果表明，桩身荷载传递函数大多符合双曲线模型[5]，即桩侧摩阻力（或桩端反力）与桩身沉降的关系如图2所示，可表示为双曲函数：

式中：τ(z)为桩身z位置处的桩侧摩阻力；S(z)为z位置处的沉降；Sb为桩端位移；as、bs分别为桩侧岩体的传递参数；ab、bb分别为桩端岩体的传递参数。

图1 桩岩荷载传递法计算简图Fig.1 Diagram of pile-rock load transfer method

图2 桩侧摩阻力与桩身位移的关系Fig.2 Relation curve of pile friction and pile displacement

取微段dL为研究对象，如图 1所示，以up表示桩周长，则根据竖直方向力的平衡条件可得

即

任意深度z截面处的桩身荷载P(z)为

则该截面处桩身沉降为

该微段的桩身压缩量为

将式（7）经过微分变换，可得

即

将式（7）代入式（9），并引入桩身传递函数的双曲线模型式（1），有

将上式写成增量形式为

则根据上式即可建立桩基承载特性的迭代计算方法。具体迭代步骤如下：

（1）假定桩端沉降 Sb，求得桩端反力 Rb、第n段的桩侧摩阻力τn：Rb= ApSb/(a+bSb)，τn=Sb/(a+bSb)，则可得到第n段桩轴力增量ΔPn、第n段桩顶轴力 Pn、第 n段桩平均轴力，分别为：，Pn= Rb+ΔPn，。其中，Δln为第n段桩长度。

（3）根据静力平衡条件的增量形式，仿效式（11）和步骤（1），可得

依次迭代计算，直至满足相对误差（迭代前后两次计算的荷载增量或弹性压缩增量的相对误差，如或要求，即可

求出第n段桩顶沉降 Sn和桩顶轴力 Pn。

（4）将第 n段桩顶荷载 Sn和桩顶轴力 Pn作为第 n−1段的已知桩端沉降和桩端反力，继续按步骤（1）～（3）迭代计算，得到第 n−1段桩顶沉降 Sn−1和桩顶轴力 Pn−1。

（5）依次迭代计算各桩段，直至最顶段桩，得P1，即为桩顶施加的荷载。

从上述过程可以看出，假定不同的桩端沉降Sb，可得到相对应的桩顶荷载P、桩顶沉降 S0，同时可获得不同深度处的桩侧摩阻力τ。进行上述迭代过程的前提是获得荷载传递参数a和b，式（1）可转化为 S/τ= as+bsS。通过混凝土-岩石接触面的快剪试验获取的τ、S关系曲线，由回归分析可确定参数 as、bs的值[6]，同理可由现场载荷试验获得的σ、S关系曲线，获得 ab、bb的值。

3 考虑桩-岩接触面流变的迭代方法

当考虑桩端及桩岩界面的流变特性时，将图 1中桩侧及桩端弹簧代之以流变元件组合模型，这样传递函数就变为可考虑时间效应的流变方程。假设桩岩接触面剪切位移关系以及桩端岩体符合广义开尔文模型，具体计算简图如图3所示。

图3 考虑岩体流变的桩岩共同作用计算模型Fig.3 Calculation model for pile-rock joint action considering rock rheological properties

广义开尔文模型的剪切流变本构关系可表示

为[7]则剪切位移S为

根据传递函数法，仍假定桩侧摩阻力τ与桩身位移（即剪切位移）S满足双曲函数式（1），同时桩身位移与桩侧摩阻力满足式（17），则将式（17）代入式（1），可得桩侧摩阻力τ随时间的变化关系式：

式中：as（mm3/N）、bs（MPa-1）为桩侧荷载传递参数；G1为岩体的弹性剪切模量（MPa）；G2为岩体黏弹性剪切模量（MPa）；η为黏滞系数（MPa·h）；ΔL 为桩段长度。

在传递函数法中，不考虑岩体的连续性，根据广义开尔文模型的黏弹性位移解析解[8]，则桩底的位移-时间关系可由桩底应力σb求得为

式中：R为桩半径（m）；K为岩体体积模量（MPa）。

式（18）表明，τ其实是桩深z和时间t的函数。因此，根据增量法的原理，可将时间t分成若干个时间步Δt。在某一时间步仍可采用第2节介绍的迭代步骤求解，当完成整个桩的迭代时，进入下一时步。重复上述过程，直至相邻两时步计算的桩顶沉降值或桩身轴力值满足相对误差要求。亦可设定计算时间，当时步累加达到计算时间时，计算终止。据此，可编制考虑桩侧剪切流变效应的桩岩联合受力迭代计算程序。

根据以上描述，迭代的基础是已知或假定桩端沉降（或桩底应力）。对于不同的荷载级别，桩端沉降不同，应分别进行迭代计算。当已知桩底应力时，可由式（19）求得桩端沉降，继而根据图3进行迭代计算。在桩底应力未知的情况下，就需要假定桩底应力，继续利用上述的迭代计算方法求解桩顶轴力及桩顶沉降，并与实际值对比，相差较大时，调整假定的桩端位移值，使迭代值与实际值接近到可接受的误差范围，即获得考虑流变效应的单桩桩岩联合受力状况。

4 实例分析

现结合某水电站通航建筑物塔楼结构地基的现场模型桩试验，利用上述迭代计算方法，分析第2、3节迭代计算方法的适用性。

现场共进行了3根模型桩的载荷试验，岩性以中厚层页岩为主，夹杂部分中层完整灰岩及少量薄层状页岩。试验模型桩概况如表1所示，试验结果如表2所示。

表1 模型桩概况Table 1 Profile of model pile

表2 模型桩试验结果Table 2 Test results of model pile

图4、5分别是桩5和桩7在不同荷载级别下桩身轴力随桩深度的变化曲线。可以看出，随着荷载的增大，桩身轴力不断增加。同一荷载级别下，桩身轴力从桩顶到桩端逐渐衰减，到桩底时基本衰减为0，说明在荷载作用下，桩的端阻力作用较小，其桩顶荷载大部分由桩侧摩阻力承担。这与试验现场试桩孔壁凹凸不平导致侧摩阻力偏大是符合的。

图4 桩5轴力分布曲线Fig.4 Axial force distribution curves of pile No.5

图5 桩7轴力分布曲线Fig.5 Axial force distribution curves of pile No.7

4.1 不考虑流变的迭代计算实例分析

根据第2节介绍的不考虑桩岩接触面流变的双曲传递函数迭代计算步骤编制了迭代程序，以桩5、7为例，分别选出其中线性段两级和最大荷载级别3级荷载进行迭代计算，其结果与实测结果对比，如图6、7所示。

由图可以看出，模型桩在荷载作用下的轴力迭代计算结果与实测轴力能够很好的吻合，随桩深度的增加，轴力逐渐减小；深度越深，减小幅度越小，说明桩身浅部位置，侧摩阻力发挥很大作用，使桩轴力迅速减小。另外，模型桩7轴力迭代值在较大荷载级别时比实测值偏小一些，主要是迭代过程没有考虑桩-岩接触面的流变。

图6 桩5迭代轴力与实测轴力曲线对比Fig.6 Comparison of iterations axis force and measured axial force curves of pile No.5

图7 桩7迭代轴力与实测轴力曲线对比Fig.7 Comparison of iterations axis force and measured axial force curves of pile No.7

模型桩试验中，通过桩端埋设压力盒，测得了桩底应力，代入式（19）得桩端位移，图8给出的是通过式（19）计算得到的桩端位移迭代出的桩顶P-S曲线与实测P-S曲线的对比情况，可看出在破坏前，每级荷载下的迭代值与实测值都是很接近的，且曲线的转折点与实测值一致。但在曲线转折后，迭代的桩顶沉降值要小于实测值，这主要是由于模型桩在接近破坏时，桩头混凝土裂纹发展迅速，最终压碎破坏，导致实测的桩顶沉降偏大的缘故。

以上分析表明，利用双曲传递函数迭代计算方法分析桩岩联合受力性状能够得到令人满意的结果，迭代结果与实测值规律性相同，且相差不大。

图8 桩5迭代与实测P-S曲线对比Fig.8 Measured and iteration P-S curves of pile No.5

4.2 考虑桩-岩接触流变的迭代计算实例分析

模型桩试验中，桩7的试验加载过程考虑了岩体的流变特性，即利用伺服仪在某级荷载下变形稳定后仍维持相当一段时间再加载下一级荷载。根据第3节给出的迭代算法，在 MATLAB中编制程序，对桩7进行迭代计算。对模型桩试验结果进行筛选分析，选定线性段375 kN和1125 kN级别以及最大荷载1500 kN级别进行分析计算。

通过迭代计算，获得不同时刻桩轴力沿深度的变化关系如图9、10所示，375 kN荷载下桩顶沉降随时间的发展过程如图11所示。

由图9、10可以看出，在加载末期，迭代结果与实测值吻合较好；在加载初期，桩轴力实测值在加载末期曲线内侧，即当考虑了桩-岩接触面及桩端岩体的流变时，比不考虑流变时桩身各处轴力值较加载初期有所增加。此外，桩身轴力随深度增加递减，桩端轴力相对于上部桩轴力很小，仍可认为此桩是摩擦桩。在较大的荷载级别下，模型桩7的轴力实测值在桩身浅部位置实测轴力与迭代值有一定误差，这主要是由于现场模型桩的浅部有一层相对坚硬岩体，使得该处侧摩阻力显著增大的缘故。

图9 1255 kN荷载下桩7轴力随深度变化曲线与实测值对比Fig.9 Contrast curves of iteration and measured axial force with depths of pile No.7 under 1125 kN load

图10 375、1500 kN荷载下桩7轴力迭代值与实测值对比Fig.10 Contrast curves of iteration and measured axial force of pile No.7 under 375 &1500 kN loads

图11 375 kN荷载下桩7顶部沉降迭代值与实测值对比曲线Fig.11 Contrast curves of iteration and measured settlement of pile No.7 top under 375 kN load

桩-岩接触面的流变除对桩轴力有较大影响外，还对桩的沉降有很大影响。图11显示，在加载瞬时模型桩顶部有瞬时沉降，且沉降量占总沉降的较大比例，随时间的增长，桩-岩剪切面的流动及桩端的流变变形，沉降继续发展，渐趋于稳定。图示桩顶沉降的迭代结果与实测值从收敛时间及沉降位移上看都相差不大。

由以上分析可以看出，岩体及桩-岩接触面的流变性对模型桩的桩岩联合受力性状有较大的影响。以桩0.5 m深度处的轴力为例，不考虑桩-岩流变时（即加载初期），桩身轴力为249.6 kN；考虑了桩-岩流变后（加载末期），桩身轴力为311 kN，相比增加了 24.6%。因此，在桩的承载性能研究及桩基设计中，应考虑桩-岩接触面及桩端岩体的流变性，这样才能更符合工程实际。

5 结 论

（1）在前人已有研究成果的基础上，介绍了桩岩联合受力双曲传递函数迭代方法，并通过编制相应的迭代程序，分析了不考虑桩-岩流变的桩基承载性状。对比迭代和实测结果，发现迭代值和实测值能够较好的吻合，验证了双曲传递函数法用于单桩桩岩联合受力的分析的适用性。在此基础上，将桩岩接触面的剪切流变以及桩端岩体的压缩流变引入桩岩共同作用的分析中，建立了一种简单的桩岩联合受力迭代计算方法。

（2）桩身轴力随深度增加递减，桩端轴力较小，属摩擦型桩，桩顶荷载主要由桩侧摩阻力承担。

（3）桩身各处轴力随时间的增长逐渐增加，直至趋于稳定，说明考虑桩-岩流变时，桩的轴力比不考虑流变时大。

（4）本文采用的以位移协调法为基础的桩岩联合受力迭代计算方法存在很多假设，对于复杂地质条件下的基桩承载性能的时间效应问题、群桩间相互作用影响以及有承台时桩与承台荷载分担比的相关问题，在理论上都有待进一步探讨。

[1]《桩基工程手册》编写委员会.桩基工程手册[M].北京: 中国建筑工业出版社,1995.

[2]何思明,卢国胜.嵌岩桩荷载传递特性研究[J].岩土力学,2007,28(12): 2598－2602.HE Si-ming,LU Guo-sheng.Study on load transfer characteristic of rock-socketed pile[J].Rock and Soil Mechanics,2007,28(12): 2598－2602.

[3]赵明华,雷勇,刘晓明.基于桩岩结构面特性的嵌岩桩荷载传递分析[J].岩石力学与工程学报,2009,28(1):103－110.ZHAO Ming-hua,LEI Yong,LIU Xiao-ming.Analysis of load transfer of rock–socketed piles based on characteristic of pile-rock structure plane[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2009,28(1): 103－110.

[4]李素华,周健,杨卫,等.复杂地基中桩基承载机制计算研究[J].岩石力学与工程学报,2003,22(9): 1571－1577.LI Su-hua,ZHOU Jian,YANG Wei,et al.Calculation and study of bearing mechanism of pile foundation in complicated ground[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2003,22(9): 1571－1577.

[5]肖宏彬,钟辉虹,张亦静,等.单桩荷载-沉降关系的数值模拟方法[J].岩土力学,2002,23(5): 592－596.XIAO Hong-bin,ZHONG Hui-hong,ZHANG Yi-jing,et al.Numerical iteration method for determining loadsettlement relationship of a single pile[J].Rock and Soil Mechanics,2002,23(5): 592－596.

[6]赵明华,刘江波,杨宇.嵌岩桩桩-土-岩共同作用的非线性计算方法研究[J].中南公路工程,2004,29(3):1－4.ZHAO Ming-hua,LIU Jiang-bo,YANG Yu.Nonlinear analysis of pile-siol-rock interaction of rock socketed pile[J].Central South Highway Engineering,2004,29(3): 1－4.

[7]孙钧,汪炳鑑.地下结构有限元法解析[M].上海: 同济大学出版社,1986.

[8]杨文东.非线性损伤流变力学模型及其工程应用[博士学位论文D].济南: 山东大学,2011.

[9]邵江,谢红强,周德培,等.桩的轴向静载-沉降曲线的模拟分析[J].岩土力学,2004,25(7): 1107－1110.SHAO Jiang,XIE Hong-qiang,ZHOU De-pei,et al.Simulating analysis of axial static loading-settlement curve for piles[J].Rock and Soil Mechanics,2004,25(7):1107－1110.

[10]黄雨,叶为民,唐益群,等.打入桩荷载-沉降性状的时间效应分析[J].岩石力学与工程学报,2006,25(8):1710－1713.HUANG Yu,YE Wei-min,TANG Yi-qun,et al.Analysis of time effect on load-settlement behavior of driven piles[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2006,25(8): 1710－1713.

[11]陈仁朋,周万欢,曹卫平,等.改进的桩土界面荷载传递双曲线模型及其在单桩负摩阻力时间效应研究中的应用[J].岩土工程学报,2007,29(6): 825－830.CHEN Ren-peng,ZHOU Wan-huan,CAO Wei-ping,et al.Improved hyperbolic model of load-transfer for pile-soil interface and its application in study of negative friction of single piles considering time effect[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2007,29(6): 825－830.

[12]宋兵,蔡健.桩岩摩擦黏着特性的试验与分析[J].岩土力学,2011,32(8): 2313－2317.SONG Bing,CAI Jian.Test and analysis of friction and adhesive characters of pile and rock[J].Rock and Soil Mechanics,2011,32(8): 2313－2317.

[13]肖宏彬.竖向荷载作用下大直径桩的荷载传递理论及应用研究[博士学位论文D].长沙: 中南大学,2005.

[14]朱珍德,李志,朱名礼,等.岩体结构面剪切流变试验及模型参数反演分析[J].岩土力学,2009,30(1): 99－104.ZHU Zhen-de,LI Zhi,ZHU Ming-li,et al.Shear rheological experiment on rock mass discontinuities and back analysis of model parameters[J].Rock and Soil Mechanics,2009,30(1): 99－104.