郭继强

摘 要：本文结合江苏省教育科学“十二五”规划2013年度重点资助课题《高中数学核心概念后续教学的实践研究》，借助探究等差数列最值问题一堂课，将本课题理念加以实践，运用函数中的核心概念“零点”加以分析，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，并进一步加深学生对于高中数学核心概念的理解.

关键词：数形结合；零点；最值；创新思维

《高中数学核心概念后续教学的实践研究》这一课题是笔者参与的江苏省教育科学“十二五”规划2013年度重点资助课题. 近日笔者给学生复习等差数列的内容，探究等差数列的最值问题时，一位学生的解答引发了笔者的思考，觉得高中数学核心概念的后续教学显得尤为重要，并在此基础上加以深入探究.众所周知，数列可以看成是一类特殊的函数，函数中的诸多思想方法均可应用到数列中去，例如今年江苏卷第19题，就是应用了函数中的恒成立的思想. 特别值得关注的是，近几年江苏高考卷多次出现函数的零点问题，譬如2012年江苏卷第18题和2013年江苏卷第20题. 这两题都可以运用数形结合的思想对函数的零点加以分析，正如华罗庚老先生所言“数形结合百般好，割裂分家万事非”. 接下来笔者就结合函数中的核心概念——零点来谈一谈等差数列中的最值问题.

首先来看笔者这堂课的一个片段：

例1 在等差数列{an}中，a7>0，a7+a8<0.

（1）求使得Sn取得最大值时n的值；

（2）求使得Sn>0时n的最大值.

学生：因为a7>0，a7+a8<0，所以a8<0，因为只有所有的正数之和最大，所以当n=7时，Sn最大.

教师：很好！你能否总结出一般性的方法？

学生：如果一个等差数列，a1>0，d<0，那么当n取得最后一个正数时，Sn取得最大值.

教师：你能够将这个结论完善一下吗？

学生：如果一个等差数列，a1<0，d>0，那么当n取得最后一个负数时，Sn取得最小值.

教师：太棒了！你能否告诉大家由等差数列的通项公式如何确定最后一个正数或者最后一个负数呢？比如an= -3n+20.

学生：如果令an=-3n+20=0，则n=■，那么最后一个正数n=6.

教师：不错. 这位同学，请问an=-3n+21呢？这时Sn取得最大值时n的值是多少？

学生：an=-3n+21=0，则n=7，所以当n=7时，Sn取得最大值.

教师：再想想.

学生：噢！n=6与n=7，Sn相等，对了！应该是n=6或7！

教师：太棒了！这位同学，换一个角度，从等差数列的Sn来观察，应该怎么思考？

学生：等差数列的Sn形如无常数项的二次函数，要使Sn取得最大值，n应取其对称轴.

教师：很好！那你能说出此题的对称轴吗？

学生：因为S6=S7，所以对称轴是n=6.5.

教师：非常好！再进一步思考，此二次函数的零点是多少呢？

学生：因为对称轴是n=6.5，所以二次函数的零点是n=13.

教师：（总结）太好了！同学们，a6= -3n+21=0，得到a6的零点是n=7. 由此零点我们能够得出此等差数列前n项和S6的对称轴与其零点. 这对我们深刻理解等差数列的概念非常有帮助，这正是将函数中的相关概念以及数形结合的思想应用到了数列问题中来. 不妨我们大家试着思考第2问.

？摇？摇对于本题的第2问，学生处理起来有了一些困难，笔者还是请了这位学生回答.

学生：因为a7>0，a7+a8<0，所以a8<0，所以此数列单调递减，且a70时n的最大值为14，请看我画的图1，图1中阴影部分代表S■n.

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图1

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图2

这位学生是经过深入思考的，但是没有注意到图1中的纵轴是an，起始点应当是n=1，而这位学生将起始点误认为是n=0，导致了对称点D的区间发生了错误，其实D点的区间应当是（13，14），所以使得Sn>0时n的最大值为13. 事实上，这位学生是想借助图1中线性函数的零点C来处理，想法很好，如果要想彻底弄清二者的关系，还须结合图2，即Sn的图象，其中点A为S■n的零点，n=B为抛物线的对称轴，然后结合图1中线性函数的零点C，当然这里的点D即为图2中的点A，接下来就来探究这里的三个点A，B，C之间存在着什么关系？

一、首先来探究点C与点D（即图1中的点A）的关系. 这里要注意图1中的起始点是n=1，所以OC=CD=C-1，即D点处取得的n=C+C-1=2C-1. 这样就不难看出引例中使得an=0的零点n∈（7，7.5），那么使得Sn=0的零点n∈（13，14），从而得到使得Sn>0时n的最大值为13.

我们再举一例.

例2 （高考题）在等差数列{an}中，S20>0，S21<0，求使得Sn取得最大值时n的值.

由题意可得，使得S■n=0的零点n∈（20，21），则由图1可以知道，使得an=0的零点n∈（10.5，11），由图1可知，当n=10是最后一个正数，所以使得Sn取得最大值时n=10. 不但如此，还应知道a10+a11>0.

二、其次来探究图1中的零点C与图2中的对称轴n=B的关系，回到课堂上问学生“对于数列an=-3n+21，Sn取得最大值时n的值是多少？”学生最终回答n=6或7，而此数列的零点为n=7，也就是S6=S7，不难知道对称轴为n=6.5. 那么对于图1中的零点C，我们不难理解SC=SC-1，也就得到对称轴为n=■=C-■.

三、最后是图2中的对称轴n=B与零点A的关系，这是很显然的，A=2B. 不妨举一例.

例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm=Sn（m≠n），求Sm+n的值.

这里的m+n即为Sn的零点，所以Sm+n=0. 再来看一道题.

例4 等差数列{an}中，a1>0，a80的最大自然数n的值为多少？

这是此题给出的答案：

解：依题意得d<0，故a9

即a1+7d

所以？摇14a1d+49d2<12a1d+36d2<16a1d+64d2，？摇？摇？摇？摇

即2a1d+13d2<0，a1d+7d2>0，？圯2a1+13d>0，a1+7d<0.

？圯-7<■<-■？圯■<-■<7.

Sn=■n2+a1-■n的对称轴n=-■+■∈7，■，

所以Sn与x轴的另一个交点x2∈（14，15），故使Sn>0的最大自然数n=14.

实际上，此题中不难得到此数列单调递减，且a7>0，a9<0，因为a7，a8，a9不可能同号，然后由a70，显然此数列{an}的零点在（7.5，8），由图1进而知道Sn的零点在（14，15），故使Sn>0的最大自然数n=14.

本堂课在探究等差数列的最值问题时，能够充分地从学生思维方式出发，顺水推舟，很好地培养了学生良好的思维习惯，促成学生沿着特殊到一般的思维方式，激发学生的创新意识. 从函数的观点看，数列可以看成是以正整数集（或其子集）为定义域的函数. 从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识. 因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题，并进一步加深学生对于高中数学核心概念的理解.