刘艳英

抽象函数能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养和提高学生的发散思维和创造性思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现，它涉及函数、方程、不等式等多方面的知识，它渗透着换元、递推、赋值、猜想、数形结合、一般到特殊等思想方法，综合性强，体现了高考加大对理性思维能力考查的命题思想。本文结合例题说明抽象函数的应用。

一、抽象函数在求解定义域方面的应用

求抽象函数的定义域一般表现为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，有三种常见题型：

例1：若函数y=f（x）的定义域为[-1，1]， 则函数y=f（2x-1）的定义域为 。

例2：若函数y=f（2x-1）的定义域为[-1，1]，则函数y=f（x）的定义域为 。

例3：若函数y=f（x2-2）的定义域为[1，3]，则y=f（3x+2）定义域为 。

解：1.∵f（x）的定义域为[-1，1]，∴-1≤2x-1≤1，解得0≤x≤1。

∴f（2x-1）的定义域为[0，1]。

2.∵f（2x-1）的定义域为[-1，1]，∴-1≤x≤1，∴-3≤2x-1≤1 ∴f（x）的定义域为[-3，1]。

3.∵f（x2-2）的定义域为[1，3]，∴1≤x≤3，1≤x2≤9.∴-1≤x2-2≤7，

∴-1≤3x+2≤7，-1≤x≤■∴f（3x+2）的定义域为[-1，■]。

解决好这类问题关键抓好两点：一是明确函数的定义域是指自变量的范围；二通俗地讲就是“谁占了谁的地方，原本的地方大小不变”。

二、抽象函数在求解值域方面的应用

求函数的值域是函数教学的重点和难点，与抽象函数结合其解法更显灵活，而且体现了“换元”法的运用。

例4：已知f（x）的值域为[■，■]，试求y=f（x）+■的值域。

解：∵f（x）∈[■，■] ∴■≤1-2f（x）≤■ 即■≤■≤■

令■=t （■≤t≤■）

则 f（x）=■（1-t2），

函数化为y=■（1-t2）+t=-■（t-1）2+1

∴t=■时，y最小为■；t=■时y最大为■。

∴y=f（x）+■值域为[■，■]。

抓住求值域即求y的范围的本质，换元法把f（x）看做一个整体，运用“整体性”思想，把问题转化为熟悉的二次函数来解决，降低了难度。……