石继兵

（无锡市东湖塘中学，江苏 无锡 214000）

利用图1所示三棱镜在太阳光下旋转获得色散光带几乎是每个初中物理教师经历过的实验，一般情况下教师会引导学生在教室内的墙壁上观察色散现象.大部分教师对旋转时色散现象发生的变化没有仔细观察过，三棱镜在哪个位置范围内旋转时会出现彩色光带？怎样旋转可以使色散光带变得更宽？色散光带会随着三棱镜的旋转一直向同一方向偏转吗？为什么墙壁上的色散光带位置最低时会有一个光斑与其重合？

图1

1 色散光带出现在墙壁上的原因

图2所示为图1位置时三棱镜的主截面示意图，太阳光从AB面射入时，经折射后从BC面射出，色散光带相对于斜向下的入射光向底面AC偏折，所以在距离三棱镜较远的墙壁上出现了一条完全展开的色散光带.

图2

2 色散光带的位置会先降低后升高

当三棱镜从图1所示位置顺时针旋转时，色散光带并没有预想的那样从墙壁上的较高位置一直向下移动，而是出现了先降低到某个位置后又升高的现象.这其实是由于三棱镜的最小偏向角造成的.

所谓偏向角是指所研究的单色光在三棱镜主截面内折射时，出射光线和入射光线之间的夹角.图3为单色光在三棱镜主截面内的折射光路图，其中α为入射角，β为出射角，∠1为AB面的折射角，∠2为BC面的入射角，δ为偏向角.

如图3 所 示，四 边 形DNEB中，∠NDB＝90°，∠NEB＝90°，∠DBE＝60°，∠DNE＝360°－90°－90°－60°＝120°.在△DNE中，∠1＋∠2＝180°－120°＝60°，δ＝（α－∠1）＋（β－∠2）＝α＋β－（∠1＋∠2）.则

图3

以上两式中，n为三棱镜的介质折射率.由（1）、（2）式得

故由（1）、（3）式得

图4

根据（3）、（4）式对于三棱镜来说，入射角α一定时，有唯一确定的折射角β和唯一确定的偏向角δ与它对应.根据光路可逆性可知：如果单色光线以β角入射，那么折射角就一定等于α，则偏向角δ不变，也就是说：对同一个函数值δ有两个不同的自变量数值α和β与之相对应.根据拉格朗日中值定理和进一步推导，可以证明：δ存在一个最小值，当α＝β时，偏向角δ最小.δ随α的变化大致如图4所示.表1是根据上面式子计算出的顶角为60°的三棱镜，折射率n＝1.5的单色光对应的各个角度.

由表1看出：当α（α＞β）逐渐减小时，∠1减小，∠2增大，β增大.但是α减小的角度大于β增大的角度，所以δ减小，随着α的数值越来越接近β，δ减小的越来越慢，当α＝β时，δ达到最小值.此后，α减小的角度小于β增大的角度，所以δ逐渐增大，随着α的数值越来越小，δ增大得越来越快.

表1

当α＝β时，∠1＝∠2＝30°偏向角δ＝37.18°最小.当三棱镜从图1位置顺时针旋转时，所有单色光的偏向角先变小后变大，所以色散光带的位置先降低后升高.分析数据还可看出，α在40°～60°范围变化时，偏向角δ变化不大.这与色散光带在最低位置附近时，三棱镜偏转的角度对色散光带的位置几乎无影响的现象吻合.

图5

3 墙壁上的色散光带位置最低时将与底面上的反射光斑重合

顺时针旋转三棱镜使色散光带下降到最低位置过程中，色散光带中的每条单色光线的宽度增加，同时会看到底面AC反射的光斑与最低位置的色散光带重合.图5中，∠1＝ ∠2＝30°时，∠EDB＝90°－∠1＝60°.因为∠CAB＝60°，所以DE∥AC.又因为PO∥KD，所以∠POA＝θ1＝α－∠1.而∠QOC＝α－∠1，θ2＝β－∠2＝α－∠1，故θ2＝∠QOC，OQ∥EF.

由于紫光的出射角最大，底面AC的反射光与BC面出射的紫光最早达到平行，随着三棱镜的旋转，紫光、蓝光、绿光、黄光向上移动，底面AC的反射光斑向下移动，最后与红光达到平行.在这个过程中，底面AC的反射光斑和BC面的出射光带必定会有一个重合位置.

4 色散现象出现的角度范围

三棱镜旋转到色散光带与底面上的反射光斑重合后继续顺时针转动时，光带中每条单色光线的宽度将继续增加，到达某个位置后，紫光先消失，各种单色光将依次消失，红光最后消失，这是为什么呢？

（1）入射单色光经三棱镜折射后能够从三棱镜出射是有条件的.表2为各单色光在三棱镜中的折射率.

表2

表3

表3中列出发生色散时红光、紫光的最小入射角，所以能看到完整色散光带的入射角α的范围是30.34°＜α＜90°.从表中看出，紫光第1个达到全反射的临界角，先消失；红光最后达到临界角，最后消失.

（2）全反射后从第3个面折射出去的是光斑，而不是色散光带.

从BC面全反射的各种单色光将从AC面射出（图6），虽然各种色光在三棱镜中偏折角度不同，但射出三棱镜后仍然平行.D点附近位置射入的各条光线在AC面射出的光带将彼此交叉重叠，并以同样的角度射出，所以不产生色散现象.具体证明过程如下.

图6

因为△ABC是等边三角形，所以∠DBE＝∠FCE.根据光的反射定律，有∠DEB＝∠FEC.则△BDE∽△CFE.得∠BDE＝∠CFE，∠1＝∠2.

根据光路可逆性原理∠1对应的入射角α与∠2对应的折射角β相等，即β＝α.

同理可证γ＝α，则γ＝β.所以FG∥HM.

通过上面的分析，总结出在墙壁上能观察到最佳色散光带的调节步骤：① 先将三棱镜的一个面调节到水平位置（此时这个面对应的顶角朝下），这时就会在墙壁上看到一条色散光带，微调三棱镜，调节到色散光带与一个光斑重合.② 三棱镜继续旋转一定角度使白色光斑向下移动一段距离，观察到色散光带向上移动，这个过程每条色散光的宽度较大，光带位置较高，坐在座位上的学生观察效果较好.

1 罗乐，何于江，吴本科.三棱镜最小偏向角的推导［J］.工科物理，1997（4）.

2 王绍符.浏览三棱镜光的色散复合实验［J］.物理通报，2005（10）.