詹 倩，许树声

(1.安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232001;2.华东理工大学 理学院，上海 200237)

非光滑函数|x|的Newman有理插值逼近

詹 倩1，许树声2

(1.安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232001;2.华东理工大学 理学院，上海 200237)

考虑一个新的修正后的Newman节点集，并给出在此节点集上用Newman型有理插值算子逼近非光滑函数|x|的渐近公式。不但证实基于该节点集上的Newman有理插值改进了逼近效果，而且证明其精确的逼近阶为O(e-?n-)，此逼近误差的阶是对Newman(见［2］)and XIE Ting-fan的提高。

函数逼近;非光滑函数;Newman有理插值算子;渐近公式

0 引言

在逼近论中，函数|x|起着非常重要的作用。Weierstrass定理的Lebesgue证明就是基于函数|x|可被多项式逼近。众所周知，早在1913年，Bernstein就证明了在［-1，1］上对|x|的最佳多项式逼近En(|x|)～，且不能改进［1］。1964年，Newman证明了|x|在［-1，1］上的最佳有理逼近效果更好，Rn(|x|)远优于其多项式最佳逼近［2］。事实上，他选择的节点集是X={-a，-a2，…，-an-1，0，an-1，…，a2，a}，其中a=exp(-n-1/2)，n=1，2，…，取

并构造有理插值函数rn(X;x)如下

Newman利用以上有理插值函数得到以下著名定理

定理 对 x∈［-1，1］，n≥5，有下式成立

显然Newman在证明中构造的函数rn(X;x)是在节点集X上对|x|的插值函数。

压缩到［0，1］区间，即

2004年，谢庭藩和周颂平改进了(2)式，并得到了逼近的渐近公式:［7］

下面我们将选取一类新的节点集，基于该节点集用Newman型算子对非光滑函数进行逼近，并给出逼近的渐近公式。

1 结论及证明

下文中我们选取的一类新的节点集为

A为一个正常数。记

而Newman型算子rn(x)如(1)式定义。注意到f(x)与rn(x)均为偶函数，故对逼近误差我

们只需对x∈［0，1］进行讨论。易见

定理1以下渐近等式成立

因此

应用引理1并经过简单……