丁 勇，诸葛萍，谢 旭，李 辉，黄剑源

(1.宁波大学 土木工程系，宁波 315211;2.浙江大学 土木工程系，杭州 310027)

近年来，桥梁结构在车辆荷载作用下的破坏情况经常发生，尤其在桥头跳车时，车辆荷载的动力效应更加显著，因此出现较多桥头跳车所致桥台、桥面板、伸缩缝、桥头搭板破坏［1］(图 1)。

作为桥梁、搭板、桥头路面设计的原始依据［2-4］，车辆经过桥头时的动力荷载非常重要。该动力荷载主要作用在桥梁端部，按中国桥梁规范［5］，可采用车辆荷载的局部冲击系数(0.3)考虑其影响，美国桥梁规范将桥面接缝处的冲击系数定为 0.75，其余为 0.33［6］，其他国家则未对桥头跳车冲击荷载做专门规定［7］。

图1 桥头桥面板开裂Fig.1 Crack of the bridge deck at the bridge-head

张丽芳等［2，8-9］对桥头跳车问题进行的研究，内容涉及车辆作用下桥梁、桥头搭板等结构的动力响应。但桥头跳车动力荷载的相关研究较少。目前由实验确定该动力荷载较困难亦较昂贵［10-11］，主要研究集中于理论分析。刘晓明等［12］采用7自由度车辆理论模型分析了桥头搭板平顺过渡情况下车辆动力荷载;Ding等［13］采用4自由度车辆理论模型及简支梁桥理论模型，分析了车轴动力荷载;丁勇等［14］采用考虑滚动轨迹的圆盘车轮模型，计算了桥头错台跳车时的动荷载，避免了以往单点车轮模型经错台时的突跳。但该研究未考虑轮胎与地面的接触长度，可能会高估跳车动力荷载。

本文提出考虑车轮与路面接触长度的圆盘车轮模型，结合车辆的三维有限元模型及相应的动力学分析方法，分析桥头跳车时的车轮动力荷载，并探讨该荷载的影响因素。

1 车轮动力荷载计算方法

1.1 桥头错台模型

桥头错台是产生跳车的重要因素，其产生原因由桥台与路堤刚度不同导致的沉降差，虽设置桥头搭板后可减小不均匀沉降影响，但错台现象仍存在(图2)。据 White等［1］在美国的调查，桥头错台现象较常见，最大高差达38 mm，因此本文采用桥头错台作为跳车的激励源。

1.2 车辆振动方程

为确定车轮动力荷载，需分析车辆经过桥梁时的振动，以往研究常采用多自由度车辆振动理论方程组［2，8-9，12-13］。为避免复杂的理论分析方法，本文采用有限单元法模拟车辆［14-15］。如典型20 t三轴载重车辆三维有限元模型见图3。

该模型由三种单元组成(弹簧-阻尼单元、集中质量单元、刚性梁单元)，包括37个单元，25个节点，计算参数见表1。

图2 桥头错台Fig.2 The staggered platform at bridge-head

图3 车辆三维有限元模型Fig.3 3-D FEM model of vehicle

表1 车辆计算参数［16］Tab.1 Parameters of vehicle

单元组集后，得车辆振动方程为:

其中:uv为节点位移矢量;Mv、Cv、Kv分别为质量、阻尼、刚度矩阵;Fv为车辆所受荷载;t为时间。式(1)可利用Newmark法在时间域内积分求解，车轮与路(桥)面的接触点需给定位移或荷载，其数值与车轮轨迹有关，因此需确定桥头跳车时轮底节点轨迹。

1.3 不计车轮－路面接触长度的车轮运动轨迹分析

分别研究车辆上、下桥跳车时的车轮轨迹，以确定式(1)的边界条件。考虑车轮滚动影响，采用圆盘模型［14］描述其运动。分析车轮变形较小，不计车轮与路面的接触长度情况。

1.3.1 上桥跳车

如图4所示，当车轮以速度v过桥头错台时，绕顶点B滚动。轮底由A点升高到B点，其运动轨迹为曲线2，该曲线在B点与水平线相切。设曲线2为圆弧线，则其与曲线1(B为圆心，R为半径的圆弧)平行，因此轮底A点运动轨迹(高度)为:

1.3.2 下桥跳车

如图5(a)所示，车轮下桥通过错台时，若速度较低，车轮将绕顶点D滚动，轮轴由O点转至O'点，轮轴离地面距离为:

图4 上桥跳车时的车轮轨迹Fig.4 Rolling trace of the tire getting on the bridge

其中:h2为错台高度。由此可得轮轴加速度为:

其中:v为车辆速度。

图5 下桥跳车时的车轮轨迹Fig.5 Rolling trace of the tire getting off the bridge

为在车辆振动的有限元分析中得到上述轮轴加速度，可给定路面对轮底的荷载:

其中:F1为轮轴的车体重力，maxis为轮轴质量。

车速较高时，车轮将出现脱离错台的腾空现象，如图5(b)所示。此时轮底荷载为0，由式(5)可得:

设车轮腾空时临界速度为vcr，将式(4)代入式(6)得:

临界速度为:

模拟车辆下桥通过错台时，无论高速或低速情况，均将F2作为给定的轮底荷载边界条件，代入车辆振动方程(1)，积分可得车辆模型中各节点位移、速度、加速度。

1.4 考虑车轮－路面接触长度的车轮运动轨迹分析

对充气轮胎等刚度较小的车轮，其与路面间存在近似矩形的接触面积，从侧面看，轮胎与地面间存在一接触长度。以下分析此时的车轮运动轨迹。

1.4.1 上桥跳车

考虑接触长度时，车轮上桥前、后位置如图6所示，因车轮半径较变形大得多，故设未接触部分仍保持圆形，且半径不变。接触长度为L，其值可由轮胎压缩量计算获得。

车轮上桥时，轮底从A点逐渐升高到A'点，并与水平线相切，设其运动轨迹仍为圆弧曲线(曲线2)，则其半径与圆心位于B'点的圆弧曲线(曲线1)相等，据几何关系推导得:

图6 考虑接触长度时上桥跳车轨迹Fig.6 Rolling trace of the tire getting on the bridge considering the contact length

其中:R'为轮底轨迹等效圆弧半径，ΔR为静力状态下轮胎压缩量。

由此可得轮底A点距地面高度为:

其中:

h(z)即为式(1)的给定轮底位移。不计轮胎变形，等效圆弧半径R'即为轮胎半径R，式(10)退化为式(2)。

1.4.2 下桥跳车

考虑接触长度时，车轮下桥前、后位置如图7所示。设未接触部分仍为圆形，半径不变。车速较低时，轮轴将由O点逐渐降低到O'点。设其间的运动轨迹仍为圆弧曲线(曲线3)，并在O点与水平线相切，因此其圆心为D'，圆弧半径R'可由几何关系推导:

图7 考虑接触长度时的下桥跳车轨迹Fig.7 Rolling trace of the tire getting off the bridge considering the contact length

由此可得，跳车过程中轮轴O离地面高度为:

为在车辆振动有限元分析中得到上述轮轴加速度，仍给定路面对轮底荷载，其值由式(5)求得。

车速较高时，车轮将出现脱离错台的腾空现象，此时轮底所受路面荷载为0，将式(13)代入式(6)，得对应的车速为:

若下桥跳车开始时，车辆即达到临界速度，则:

不计轮胎变形时，等效圆弧半径R'即为轮胎半径R，式(14)退化为式(8)。

实际模拟车辆下桥跳车时，无论高速或低速情况，均将F2作为给定的轮底荷载边界条件，代入式(1)，积分可得车辆模型中各节点位移、速度、加速度。

1.5 车轮动力荷载计算

求出车辆节点位移、速度后，由轮胎位置的弹簧-阻尼单元得车轮竖向动力荷载为:

2 算例与讨论

对图3的典型载重车辆，利用上节方法求解车辆通过桥头错台前后的动力荷载，积分步长小于0.001 s，轮胎半径为0.43 m。由于本文主要讨论桥头沉降错台导致的冲击荷载，故不计路面粗糙度、桥梁振动影响，并假设桥梁足够长，上、下桥头跳车互不影响。

2.1 考虑轮胎－路面接触长度时车轮动力荷载特征

车辆以速度30 km/h通过10 mm高桥头错台为例，分析跳车时车轮动力荷载特征。

为说明考虑轮胎-路面接触长度影响，分别采用三种假定计算车轮动荷载:① 将车轮视为一个点;②考虑车轮半径，用圆盘车轮模型;③ 采用圆盘车轮模型，同时计及轮底与路面接触段，接触长度由轮胎压缩量计算得到，图3车辆对应的轮底接触长度见表2，接触长度计算值与实验值接近。

表2 车轮变形与接触长度Tab.2 Deformation and contact length of the tire

以前轮为例，动荷载计算结果见图8。

图8 前轮动荷载(h=10 mm，v=30 km/h)Fig.8 Dynamic load of the front tire(h=10 mm，v=30 km/h)

由此可知，若将车轮视为一个点，上、下桥时动荷载计算值变化剧烈;采用考虑滚动轨迹的圆盘车轮模型后，动荷载趋于平缓;考虑车轮-路面接触长度后，上桥时动荷载进一步减小，下桥时最大荷载变化不大，但作用位置提前。因此，计算车轮动荷载时，需考虑轮胎-路面接触长度，以准确反映跳车时的接触条件，本文的分析均采用该计算方法。

考虑车轮滚动轨迹与轮胎-路面接触长度后，前、中、后轮的动力荷载见图9。由图可知，车辆上、下桥通过桥头错台时，车轮荷载均产生波动。因前轮较中、后轮上桥早，故轮力波动也较早。

图9 车轮动荷载(h=10 mm，v=30 km/h)Fig.9 Dynamic load of the tire(h=10 mm，v=30 km/h)

用冲击系数表示车轮荷载动力效应为:

其中:Fs为车轮静荷载，Fv，max为竖向动力荷载最大值。图9的轮载冲击系数见表3，上桥的轮载冲击系数较下桥大;因上桥最大动荷载发生在车轮刚驶上桥头错台时，即该动荷载作用在桥上局部范围内，本例计算值略大于文献［5］规定的局部加载冲击系数(0.3)，小于文献［6］的局部冲击系数(0.75)。

表3 轮载冲击系数Tab.3 Impact factor of the load of the tire

图9(b)中下桥跳车时轮载有突然减小现象，但仍大于0，说明车轮未腾空。据式(8)、式(14)，得下桥跳车时的临界速度见表4。由表4知，考虑轮胎-路面接触长度后，临界速度大大增加。车速大于临界速度时，会产生车轮腾空现象，影响行车稳定性及安全性。

表4 下桥跳车临界速度vcr(km/h)Tab.4 Critical speed of the tire getting of the bridge

以车速与错台高度为例，探讨跳车动力荷载影响因素。

2.2 车速对动力荷载影响

分别对上桥、下桥两种情形，分析车辆以10～80 km/h速度通过10 mm桥头错台时的动力荷载。

2.2.1 上桥跳车

图10为上桥时的车轮荷载。不同车速下最大动力荷载均发生在桥头错台上。

用式(16)求得轮载冲击系数，见图11。

图10 上桥时的车轮动荷载Fig.10 Dynamic load of the tire getting on the bridge

图11 上桥时轮载冲击系数Fig.11 Impact factor of the tire getting on the bridge

图12 下桥时的车轮动荷载Fig.12 Dynamic load of the tire getting off the bridge

图13 下桥时车轮轮载冲击系数(h=20 mm)Fig.13 Impact factor of the tire getting off the bridge

前轮、中轮动荷载随着车辆速度的增大而增大，而后轮荷载波动较大。产生此现象因为前轮独立悬挂，中、后轮非独立悬挂，故前轮振动不影响中、后轮，后轮则受中轮振动影响。因此，桥头冲击系数与车辆悬挂系统有关。图11中轮载冲击系数在0.13～0.76之间。

2.2.2 下桥跳车

图12为不同速度下桥时的动力荷载。

用冲击系数表示动荷载效应，如图13所示。前轮冲击系数约0.2，随车速变化很小;中、后轮冲击系数随车速的增加而波动，30 km/h和70 km/h车速时最大，数值在0.17 ～0.46之间。

由图12看出，下桥时最大轮载不一定在错台上，离桥头错台距离与车速的关系如图14所示。

前轮最大轮载位置到错台的距离随车速的增大而线性增大，80 km/h车速时距错台达4.7 m;中轮最大轮载位置随车速的增大而波动，70 km/h车速时距错台达4.0 m;后轮最大轮载作用点离错台较近在1 m以内。

图14 最大轮载位置与速度关系Fig.14 The position of the maximum dynamic load of tire

图15 上桥时的车轮动荷载Fig.15 Dynamic load of the tire getting on the bridge

图16 轮载冲击系数与高度关系Fig.16 The impact factor of dynamic load of the tire

图17 下桥时的车轮动荷载Fig.17 Dynamic load of the tire getting off the bridge

2.3 跳车高度影响

分析车辆以30 km/h速度通过1～30 mm高度桥头错台时的动力荷载。

2.3.1 上桥跳车

图15为不同高度桥头错台导致的车轮动力荷载，由此可知，最大轮载均发生在车轮刚上桥时;错台高度越大，动力效应越明显。

用冲击系数表示动力效应大小，如图16所示。冲击系数与错台高度成正比，后轮冲击系数最大，错台高度大于10 mm时超过0.3，30 mm错台的冲击系数达1.08。

2.3.2 下桥跳车

图17为下桥时车轮动力荷载，由此可知，不同跳车高度下最大轮载的作用位置相同，与桥头错台有一段距离，位置可由图14确定;错台高度越大，动力效应越明显。

如图18所示，轮载冲击系数与跳车高度成正比。后轮冲击系数最大，错台高度超过10 mm时中、后轮冲击系数超过0.3，错台高度超过15 mm时前轮冲击系数也超过 0.3。

图18 轮载冲击系数与高度关系Fig.18 The impact factor of dynamic load of the tire

3 结论

对桥头错台跳车问题，提出考虑轮胎-路面接触长度的圆盘车轮模型，结合基于有限元的车辆动力学分析，计算桥头跳车时的车轮动力荷载，可为路、桥设计与维护提供定量参考。实例分析表明:

(1)采用考虑轮胎与路面接触长度的圆盘模型，更符合车轮接触的实际情况，所得上桥跳车动力荷载明显降低，下桥跳车的临界速度则大大增加;

(2)桥头跳车时，车轮最大动荷载与行车速度关系与车轮悬挂方式有关。车轮独立悬挂时，上桥时车速越大，最大动力荷载越大;下桥时最大动力荷载基本与车速无关。

(3)桥头跳车时的最大动力荷载与桥头错台高度成正比;

(4)上桥跳车时的最大动力荷载总位于桥头错台上;下桥跳车时最大动力荷载则离桥头有一定距离。

(5)桥头错台跳车时的冲击系数会超过我国桥梁规范中的局部冲击系数(0.3)。车辆以30～80 km/h速度上桥通过10 mm桥头错台时，轮载冲击系数在0.3～0.76之间，下桥跳车时，10 mm错台跳车造成的轮载冲击系数在0.17～0.46之间，因此桥头跳车造成的动力轮载不可忽视。

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