陈法法，汤宝平，姚金宝

(重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400030)

齿轮箱作为各类机械设备的关键传动部件，一旦出现典型故障，将导致整个机组骤然停机，使维修工作变得十分无序。若能在齿轮箱故障萌芽状态对其准确故障辨识，则能科学合理指导保养维修工作，避免造成重大损失。齿轮箱早期故障特征十分微弱，且受齿轮箱复杂结构及信号传播介质影响，其微弱信号特征往往只表征在某些局部区域［1］。此时仅利用单一传感器很难准确全面反映齿轮箱的实际运行状态。多传感器信息融合技术为此类问题合理解决提供了新的思路［2］。在齿轮箱关键部位配置多个传感器，综合各传感器信息冗余、互补、协同优势，能有效实现齿轮箱早期故障特征准确辨识。

在多传感器信息融合过程中，基于Dempster-Shafer证据理论(简称DST)发展的Dezert-Smarandache理论(简称DSmT)［3-4］，采用冲突比例重分配规则重新分配不符合实际的诊断证据，能在充分保留冲突信息基础上实现各类证据有效快速融合，为齿轮箱各类证据可靠融合提供合理的理论架构。在DSmT融合分析过程中，如何保证识别框架证据元素信度分配客观化是技术难点［5］。小波神经网络利用小波基作为神经元的传递函数，可显著提升神经网络的非线性映射能力［6-7］。通过将小波神经网络初级诊断结果转换为各故障模式的广义信度分配，能显著降低信度分配函数的复杂性，实现信度分配的客观化。

由此，本文提出基于DSmT与小波神经网络的齿轮箱早期故障融合诊断方法。利用多个传感器采集齿轮箱关键部位的振动信息并提取相应的故障特征;基于小波神经网络实现齿轮箱早期故障的初级诊断，将初级诊断结果转换为多个独立证据并利用DSmT实现多个独立证据的快速准确融合;利用相应决策判决规则得出最终的诊断结论。

1 DSmT融合决策理论

DSmT融合决策理论为经典DS证据理论的延拓［4，8］。在融合决策分析中，DS证据理论与 DSmT 均构建了广义辨识框架Θ及超幂集Dθ。在广义辨识框架中，DS证据理论仅计算确定性信息与不确定性信息的信度分配;而DSmT不仅计算确定性信息及不确定性信息的信度分配，也计算冲突信息的信度分配。

1.1 基本概念

为分析问题的统一，将 DSmT的基本概念描述如下:

(1)广义辨识框架:设Θ={θ1，θ2，…，θn}为由n个完备的元素组成的一个非空有限集合，则称Θ为广义辨识框架。

(2)超幂集:超幂集Dθ定义为广义辨识框架Θ中的全部元素及相应的∪和∩组合产生的新元素构成的集合。由此可得 φ，θ1，θ2，…，θn∈Dθ，若 θ1，θ2∈Dθ，则 θ1∩θ2∈Dθ，θ1∪θ2∈Dθ。

1.2 DSmT融合规则

设m1(·)，m2(·)，…，mk(·)分别表示k个不同独立信息源提供的广义信度分配函数，则关于k个独立信息源的融合规则为:

由式(1)看出，较DS证据理论，DSmT理论从原理上在辨识框架中计算了相应的冲突信息，使各证据的信度分配更具合理性。

DSmT理论能解决冲突信息的信度分配问题，但由于在融合决策中引入了交运算，使融合结果分类众多，融合判决变得复杂。为简化融合决策运算，需将某些奇异结果进行再分配。PCR5(Proportional Conflict Redistribution)理论［9］认为冲突信息的产生源于辨识框架中有明确决策的单焦元，冲突大小与本身的置信指派成正比，由此可将每次组合后的冲突信息按单焦元的置信指派进行再分配。对两元素的PCR5冲突再分配公式为:

其中:∀Y∈Dθ/{φ}，由式(1)看出，X，Y之间的冲突信度由信源1中的X与信源2中的Y产生冲突与信源1中的Y与信源2中的X产生的冲突两部分组成。PCR5分别将这两部分冲突信度依照X，Y原有信度值的比例关系分配到X，Y的组合信度上。

2 小波神经网络

小波神经网络(Wavelet Neural Network，WNN)基于小波变换而构成的新型神经网络［7］。WNN以小波基作为神经元的激励函数，通过仿射变换建立了小波基与网络参数之间的联系，由此构建的新型神经网络融合小波变换的时频局域特性和神经网络的自学习功能，使神经网络的非线性映射能力显著增强。

图1 小波神经网络拓扑结构Fig.1 Wavelet neural network topology structure

基于小波变换的神经网络结构如图1所示，输入层节点数为m，输出层节点数为n，隐含层节点数为l，Xi(i=1，2，…，m)为小波神经网络的输入值，Yk(k=1，2，…，n)为小波神经网络的输出值，wij为输入层与隐含层之间的连接权值，wjk为隐含层与输出层之间的连接权值，由此得出输入层的输出为:

WNN的隐含层神经元采用小波函数作为神经网络的激发函数，即:

其中:a为伸缩因子，b为平移因子，Ψ为母小波函数。由此得出隐含层神经元的输出为:

其中:k为输出层神经元，Ψ采用Morlet小波形式，表示为［10-11］:

WNN的输出层神经元采用Sigmoid函数作为神经网络的激发函数。由此得出输出层神经元的输出为:

小波神经网络的训练过程即对参数wij，wjk，ak，bk进行最优调节过程，采用最速梯度下降算法修正wij，wjk，ak，bk，训练的最优导向即参数的逼近误差最小，各参数调节误差为:

其中:Δp为调节误差，E为最小均方误差能量函数。据WNN辨识误差调节网络的连接权值及小波因子，从而使小波网络的实际输出逼近期望输出。

3 基于DSmT决策理论与小波神经网络的齿轮箱早期故障融合诊断模型

基于DSmT决策理论与小波神经网络的齿轮箱早期故障融合诊断指将各传感器中微弱、时变的特征信息进行深度融合，产生较单一传感器更精确的状态估计，诊断流程如图2所示。深度融合为本文诊断思想，即首先对振动传感器采集的振动数据进行A/D转换、抗混叠滤波等前置处理，再对各传感器采集的振动信号进行EMD经验模式分解［12-13］获取各状态的内禀模态分量并计算其能量输入给小波神经网络实现对齿轮箱的初级诊断;据DSmT决策理论对各小波神经网络的诊断结果进行故障属性决策融合;最后据合理决策判定规则得出齿轮箱的最终诊断结果。

图2 基于DSmT与小波神经网络的齿轮箱早期故障诊断Fig.2 The gearbox incipient fault diagnosis model based on DSmT and wavelet neural network

DSmT决策理论结合小波神经网络的齿轮箱早期故障多传感器特征融合诊断具体步骤如下:

(1)合理布局多个振动传感器于齿轮箱的多个关键部位，采集最能反映齿轮箱运行状态的多路振动信息并进行预处理。

其中:Ei为第i个内禀模态分量幅值能量，T为归一化的特征向量。

(3)利用多个并联的小波神经网络对齿轮箱不同类型故障的振动特征进行初级诊断，获得彼此独立证据。同时对初级诊断结果作归一化处理:

其中:Y'ij为第i个神经网络第j神经元的归一化输出，对应证据i下故障模式j的广义信度分配。

(4)利用DSmT决策理论对各证据的广义信度分配m(A)即神经网络初级诊断结果进行融合处理，得到各故障的融合信度分配。

(5)基于最大信度分配的决策判决规则对各类故障的综合信度分配进行决策判决，得到最终的融合诊断结果。即对∀Ai，Aj∈Dθ，若m(Ai)＞m(Aj)且大于识别框架中的其它所有元素。此时若满足:m(Ai)＞ε1且m(Ai)-m(Aj)＞ε2，则Ai为齿轮箱最终诊断结果，否则诊断结果不确定。其中ε1，ε2为预先设置的阈值门限。

4 诊断实例

4.1 实验系统

实验测试系统由单极减速器齿轮箱、调速电动机、磁粉制动器、加速度传感器、信号记录分析仪等组成。齿轮箱齿轮齿数z1=55，z2=75，模数m=2，轴承型号N205。所有故障均在齿轮箱驱动端主轴的齿轮和轴承上设置，分别通过激光切割齿轮齿面长度10 mm、深1 mm的划痕模拟齿面轻度磨损故障、齿轮齿根长度10 mm、深1 mm的划痕模拟齿根故障、轴承外圈长度为5 mm、深1 mm的划痕模拟轴承外圈轻度损伤。

为更好获取齿轮箱早期故障微弱特征，传感器的安装距故障源最近为最佳，故在驱动端主轴的两个支撑轴承座附近布置2个测点;为检验信号传播介质对微弱特征影响，在远离故障源的输出端箱体表面布置1个测点，如图3所示。采用kistlerICP型加速度传感器采集齿轮箱运行状态振动信号。

图3 齿轮箱振动测试测点布置图Fig.3 Gearbox vibration test points layout

主轴驱动转速1 200 r/min，为充分获取齿轮箱的特征信息，采样频率设fs=10 kHz。因1号传感器距故障源最近，早期故障特征也最敏感。因此以1号传感器的振动数据作为训练样本，以9 600个连续采样值为1个单位，先后测取齿轮箱正常状态及3种故障状态各30组振动数据构成诊断系统的训练样本，图4为其中1组振动数据的时域波形。基于该训练样本先后训练3个子神经网络，分别对应3个传感器的初级诊断模型。利用3个不同测点传感器采集的振动数据作为测试样本对齿轮箱实际运行状态进行诊断测试。

图4 四种状态下的齿轮箱振动信号时域波形Fig.4 The gearbox vibration signals in four conditions

4.2 初级故障诊断

对3个传感器的振动信号分别采用EMD分解提取前6个内禀模态分量计算其能量归一化后作为WNN的输入特征。采用3层小波神经网络，各层神经元个数分别为6、9、4。网络最大迭代次数设为1000，训练目标误差设为2e-3。

仅以1号传感器为例介绍基于WNN的初级诊断过程。针对1号传感器振动信号经EMD分解后提取的能量特征作为神经网络输入如表1所示，神经网络的输出分别定义为正常A1=(1，0，0，0)，齿面轻度磨损A2=(0，1，0，0)，齿轮齿根划痕A3=(0，0，1，0)，轴承外圈轻度损伤A4=(0，0，0，1)。

基于此振动特征对子网络1进行训练，训练结果见图4。由图4看出，WNN的迭代次数为358次，实际误差为0.001 49，满足故障诊断误差设定需求。

表1 子网络1输入训练样本Tab.1 First network input training features

图5 子网络1训练误差曲线Fig.5 First network learning error curve

据齿轮箱早期故障模拟下的实测信息，传感器1的特征样本归一化后的特征结构为(0.937 6，0.253 7，0.148 3，0.092 7，0.012 80，0.002 8)，将该特征向量输入给子网络1进行早期故障分类辨识，得初级诊断结果为(0.142 1，0.725 1，0.055 7，0.104 4)。据式(10)将该初级诊断结果转换为证据1对识别框架元素的广义信度分配，即(0.138 3，0.705 8，0.054 2，0.101 6)。由此即完成了子网络1对实测信息的初级诊断，其它子网络对实测信息的初级诊断流程与此相同。

4.3 融合决策诊断

针对3个子网络构成的3个证据体，利用DSmT融合决策理论对3个证据体进行融合决策。用式(10)将3个子网络初级诊断结果转换为识别框架元素的广义信度分配，再用式(1)、式(2)计算3个证据体对识别框架元素的融合决策置信分配。为验证本文算法的可靠性，采用DST算法作对比分析。以轴承外圈轻度损伤故障的1组样本为例介绍DSmT对3个证据体的融合决策过程，对应的时域波形见图6，融合结果见表2。融合决策阈值 ε1=0.5，ε2=0.1。

图6 轴承外圈轻度损伤时域振动波形Fig.6 Incipient fault vibration signals of bearing outer race

由表2看出，子网络2对轴承外圈轻度损伤的故障表征并不明显。若仅凭传感器2对齿轮箱的运行状态进行辨识，将无法确认运行状态。而子网络3与子网络1的诊断信息完全冲突，诊断结论完全不一致。由于轴承外圈轻度损伤的故障特征十分微弱，而传感器3远离故障源，受信号传播路径等原因，使传感器3未完全触及到相应的故障信号，导致子网络3的诊断结果与期望输出有一定偏差。此时若依照DST进行融合决策，则不能得出合理的诊断结论。

而DSmT通过对冲突信息的合理分配，得到m(A4)=0.643 7，m(A1)=0.112 5，超过了预先设定的诊断阈值，准确诊断出了轴承外圈轻度损伤故障。

为评估本文方法的整体性能，分别取齿轮齿面轻度磨损故障、轴承外圈轻度损伤各10组样本进行系统性的性能测试，诊断结果见表3。由表3看出，DSmT的诊断结论明显高于DST传统融合方法，能有效识别齿轮箱的早期故障微弱特征。

表2 轴承外圈轻度损伤故障融合诊断结果Tab.2 Fusion diagnosis result of bearing outer raceway mild damage

表3 齿轮箱早期故障样本综合测试结果Tab.3 All test results of gearbox incipient fault

5 结论

针对齿轮箱早期故障特征微弱传统方法难以有效辨识问题，本文提出基于DSmT决策理论与小波神经网络的齿轮箱早期故障融合诊断模型。在利用多个振动传感器采集齿轮箱关键部位振动信息的基础上，先后利用小波神经网络与DSmT决策理论对齿轮箱的早期故障特征进行初级诊断及决策融合;基于决策判决规则最终得出诊断结论。

(1)小波神经网络采用小波基函数作为神经元的传递函数，可显著提升神经网络的非线性映射能力，实现各独立证据信度分配的客观化。

(2)DSmT决策理论在扩展DST证据理论的基础上，通过冲突比例规则重新分配冲突证据，可解决各类证据的有效快速融合。

(3)齿轮箱故障模拟实验结果表明，基于DSmT决策理论与小波神经网络的齿轮箱早期故障融合诊断模型识别精度显著提高、不确定性明显降低、鲁棒性大大增强，具有一定工程应用前景，为齿轮箱早期故障融合诊断提供新的有效方法。

［1］李巍华，刘 雯.基于图论和直推式支持矢量机的齿轮早期故障诊断［J］.机械工程学报，2010，46(23):82-88.

LI Wei-hua，LIU Wen.Gear incipient fault diagnosis using graph theory and transductive support vector machine［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2010，46(23):82-88.

［2］ Liu X F，Ma L，Mathew J.Machinery fault diagnosis based on fuzzy measure and fuzzy integral data fusion techniques［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23(3):690-700.

［3］刘万全，辛玉林，鲍庆龙.基于DSm理论的雷达目标综合识别算法［J］.国防科技大学学报，2010，32(6):37-41.

LIU Wan-quan，XIN Yu-lin，BAO Qing-long.Radar target integrated recognition algorithm based on dsm theory［J］.Journal of National University of Defense Technology，2010，32(6):37-41.

［4］ Smarandache F，Dezert J.Advances and applications of DSmT for information fusion［M］.New Mexico:American Research Press，2004:3-31.

［5］翟旭升，胡金海，谢寿生，等.基于DSmT的航空发动机早期振动故障融合诊断方法［J］.航空动力学报，2012，27(2):301-306.

ZHAI Xu-sheng， HU Jin-hai， XIE Shou-sheng， et al.Diagnosis of aero-engine with early vibration fault symptom using DSmT［J］.Journal of Aerospace Power，2012，27(2):301-306.

［6］李世超，石秀华，崔海英，等.基于遗传小波神经网络的双余度电机故障诊断［J］.振动、测试与诊断，2009，6(2):223-226.

LI Shi-chao， SHI Xiu-hua， CUI Hai-ying， et al. Fault diagnosis based on genetic algorithms wavelet neural network in dual-redundancybrushless DC motor［J］. Journalof Vibration， Measurement ＆Diagnosis， 2009， 6(2):223-226.

［7］Zhang J，Walter G，Miao Y.Wavelet neural networks for function learning［J］. IEEE Transactions on Signal Processing，1995，43(6):485-497.

［8］Richa S，Mayank V，Afzel N.Integrated multilevel image fusion and match score fusion of visible and infrared face images for robust face recognition［J］.Pattern Recognition，2008，41(3):880-893.

［9］ Jin H B，Lan J Q.An improved focal element control rule［J］.Procedia Engineering，2011，15:13-17.

［10］ Dong L X，Xiao D M，Liang Y S，et al.Rough set and fuzzy wavelet neural network integrated with least square weighted fusion algorithm based fault diagnosis research for power transformers［J］.Electric Power Systems Research，2008，78(1):129-136.

［11］ Du Z M，Jin X Q， Yang Y Y.Fault diagnosis for temperature，flow rate and pressure sensors in VAV systems using wavelet neural network ［J］.Applied Energy，2009，86(9):1624-1631.

［12］ Huang N E，Shen Z，Long S R.The empirical mode decomposition and the hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis［J］.Proc.R.Soc.Lond，A，1998，454(1971):903-995.

［13］张德祥，汪 萍，吴小培，等.基于经验模式分解和Teager能量谱的齿轮箱故障诊断［J］.振动与冲击，2010，29(7):109-111.

ZHANG De-xiang，WANG Ping，WU Xiao-pei，et al.Gear box fault diagnosis based on empirical mode decomposition and Teager energy spectrum［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(7):109-111.