肖千里

摘 要：利用均值不等式可以求解函数最值问题。有些题目可以观察出能直接运用公式求解，但是有些题目必须通过必要的变形才能利用均值不等式求解。此外，还得要注意均值不等式的重要条件：一正二定三等。

关键词：均值不等式；最值；变形

利用均值不等式 ≥ （a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）求最值问题是高中数学的重要内容之一。它不仅要考查学生的逻辑思维能力，还要考查学生的运算能力，加之它运用的广泛性，如在解析几何中求有关的最值问题就可以将其转化为“用均值不等式求最值问题”。如：题“经过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线l的方程为

________”本题就是利用直线方程形式，把本问题转化为“若 + =1（a>0，b>0），则a、b取何值时a+b有最小值？”来解决即可。由此可见，“利用均值不等式求最值”也将成为高考运用的热点。

“利用均值不等式求最值问题”主要的解答途径是：

一、观察所求函数式是否具有“和、积”的形式；

二、进一步确定是否具备均值不等式的条件“正、定、等”；

三、通过对所求函数式进行变形构造均值不等式的结构形式（“和或积”的形式），再利用其条件进行判断求值。

当然第一个条件尤其重要，我今天在这里要说明的不是第一步，直接能运用均值不等式求解的问题，而是我们不能直接运用均值不等式时，可以通过将解析式变形后且满足均值不等式的条件时的问题。下面我就谈谈“利用均值不等式求最值”时常用的一些变形方法。