张 超

（顺德区容山中学，广东 佛山 528303）

高考电磁感应综合问题常常涉及到有关图像、电路、动力学、能量和动量等知识点.这类问题重在考察学生的物理综合能力，同时对物理思维和素养也有着较高的要求.“双杆”问题是高考电磁感应综合应用中难度较大的一类题型，在高考中可以说是常考不衰，而这类问题又恰恰是学生的薄弱环节.基于多年教学实践，以下对这类问题进行简要的分析和总结，供大家参考.

1 除安培力外，不受其他外力的水平导轨问题

1.1 导轨间距相等

例1.如图1所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直.设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r.现有一质量为m／2的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点.C点与杆A2初始位置相距为s.求：（1）回路内感应电流的最大值；（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；（3）当杆A2与杆A1的速度比为1∶3时，A2受到的安培力大小.

解析：（1）小球和杆A1组成的系统，由动量守恒定律得

图1

由（1）～（3）式解得

回路中感应电动势的最大值

回路中感应电流的最大值

由（4）～（6）式解得

（2）对两棒组成的系统，由动量守恒定律得

由能量守恒定律，整个运动过程中感应电流最多产生热量为

（3）由动量守恒定律得mv1＝mv1′＋mv2′，又

A2受到的安培力大小为

点评：本题是广东高考题，具有典型代表意义.此类问题一般涉及动量守恒定律，能量守恒定律及电磁学、运动学相关知识，其最终状态是两杆以相同的速度做匀速运动.若两杆运动方向同向则总电动势为两杆的电动势相减，反向则相加.

1.2 导轨间距不等

例2.如图2，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为2L，PQ部分的宽度为L，金属棒a和b的质量ma＝2 mb＝2 m，其电阻大小Ra＝2Rb＝2R，a和b分别在MN和PQ上，垂直导轨相距足够远，整个装置出于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B.开始a棒向右速度为v0，b棒静止，两棒运动时始终保持平行且a总在MN 上运动，b总在PQ上运动，求a、b最终的速度.

图2

解析：由于两棒切割长度不同，安培力大小不相等，故系统合外力不为0，系统金属棒a和b动量不守恒，两棒最终运动速度并不相等.金属棒a和b运动方向相同，E总＝Ea－Eb＝2BLva－BLvb，通过动力学分析，两棒加速度逐渐减小.当E总＝0，即2BLva＝BLvb时，两棒加速度为0，将分别做匀速运动.则

分别对金属棒a和b应用动量定理有

且

联立（1）～（4）式求得

点评：对于导轨间距不相等的问题，往往不满足动量守恒定律的条件的，因此其最后的速度也不会相同，两导体棒最终以不同的速度做匀速运动，故不能定式思维入误区.针对此类题目要使用动量定理、电磁学、动力学相关知识求解，也要注意电路总电动势的计算方法.

2 除安培力外，单杆受其他恒定外力的水平导轨问题

例3.如图3所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计.导轨间的距离L＝0.2m，两根质量均为m＝0.1 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝0.5Ω.在t＝0时刻，两杆都处于静止状态.现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动.经过t＝0.5s，金属杆甲的加速度为a＝1.37m／s2，求此时两金属杆的速度各为多少？

解析：任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短时间Δt，杆甲移动距离v1Δt，杆乙移动距离v2Δt.回路面积改变为

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为

图3

回路中的电流为

杆甲的运动方程为

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量（t＝0时为0）等于外力F的冲量

由（1）～（5）式可求出

代入数据得v1＝8.15m／s，v2＝1.85m／s.

点评：这类问题应使用动量定理、电磁学和牛顿运动定律等相关知识进行分析.该题便是利用法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律和动量定理联立求解，这类问题如涉及到最终状态，那么不难分析得出，两导体棒最终会以不同的速度做加速度相同的匀加速运动.

3 竖直导轨问题

图4

例4.（2011年海南高考题）如图4所示，ab和cd是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2 m.竖直向上的外力F作用在杆MN 上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R，导轨间距为l.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直.导轨电阻可忽略，重力加速度为g.在t＝0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好.求

（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；

（2）两杆分别达到的最大速度.

解析：设某时刻MN和M′N′速度分别为v1、v2.

（1）对于MN 和M′N′系统合外力为0，MN 和M′N′动量守恒，有mv1－2 mv2＝0，则

（2）当MN 和M′N′的加速度为0时，速度最大.M′N′受力平衡，有

根据闭合电路欧姆定律，有

电路的电动势为

由（1）～（4）式得

点评：作为2011年海南高考题，此题目是构思巧妙的竖直轨道“双杆“问题.题目基于系统合外力为0，考察考生对系统动量守恒条件的理解和掌握，利用动力学分析双杆的末状态，同时还要特别注意，由于两杆运动方向相反，故电路的总电动势等于两杆电动势之和.

1 袁培耀.高考中的框架模型与“电磁感应”知识.物理教学探讨，2006（10）.