向跃明，王树桂

（怀化学院数学与应用数学系，湖南怀化418000）

文中，R是有单位元的结合环，所有的模都是酉模．Jacobson根记为J＝J（R），基座记为soc（RR）和soc（RR），奇异理想记为Z（RR）．用MR（RM）表示右（左）R－模，Mn和Mn分别表示行矩阵与列矩阵．X是R的子集，则X的左右零化子分别为rR（X）和lR（X）．若M，N是R－模．Extn（M，N）表示（M，N）．如果N是M的子模，分别用N≤essM和N≪M表示N是M的本质子模以及多余子模．常用的记号请参考文献［1－4］．

内射性的推广在很多文献中被广泛的研究［4－15］．模M的子模K称为small，如果对M的任意真子模L，K＋L≠M．环R称为右small内射［11］（f－内射［4］），如果任意R－同态I→R，其中I为small（有限生成）右理想，可以扩充到R→R．环R称为右FP－内射［5］，如果对自由右R－模F的任意有限生成子模K，任意R－同态K→R可以扩充到F→R．在文中的第二节，称R－模N为small有限表示，如果存在正合列0→K→Rn→N→0，其中n≥1，K是Rn的有限生成small子模．右R－模M称为FP－small内射模，如果对任意small有限表示右R－模N，Ext1（N，M）＝0．R称为右FP－small内射环，R作为右R－模是FP－small内射的．在此引入FP－small内射环的概念作为FP－内射环的推广，给出FP－small内射环的例子．证明了R是右FP－small内射环当且仅当对任意n≥1，Mn（R）是右PS－内射环．如果R是半正则环，则R是右FP－内射环当且仅当R是FP－small内射环．还证明了FP－small内射环是Morita不变量．R称为FP－环［11］，如果其是半完全，右FP－内射环并且soc（RR）≤essRR，或等价于，其是半完全，左FP－内射环并且．R称为QF环，如果其是左（右）Noether，左（右）内射环．在此利用FP－small内射性给出了FP－环和QF－环的新刻画．

文献［6］中，作者引入了J－内射模用于研究J－凝聚环．右R－模M称为J－内射模，如果Ext1（R／I，M）＝0，其中I是有限生成右small理想，或等价于，任意有限生成右small理想到M的同态都能扩充到R→M．环R称为右J－内射，如果R是J－内射右R－模．第三节，得到了J－内射性和其他内射性的一些关系．作为应用，刻画了半本原环．

1 FP－small内射性

首先有如下定义．

定义1 设R是环．右R－模N称为small有限表示模，如果有右R－模正合列

0→K→Rn→N→0，

其中n≥1，K是Rn的有限生成small子模．右R－模M称为FP－small内射模，如果对任意small有限表示右R－模N，Ext1（N，M）＝0．

定义2 环R称为右FP－small内射环，如果R作为右R－模是FP－small内射模．对偶地，有左FP－small内射环的定义．

注1 （1）易证M是FP－small内射模当且仅当对Jn的有限生成子模I，任意R－同态f：I→M可以扩充到Rn→M（n≥1）．因此FP－small内射性与文献［15］的（J，R）－FP－内射性是一致的．

（2）由定义1易证FP－small内射模关于扩张，直和，直积和直和项是封闭的．

（3）半本原环是左右FP－small内射环．

（4）small有限表示模显然是有限表示的．因此右FP－内射R－模是右FP－small内射模．反之不然．例如，设R＝ℤ是整数环．则R是FP－small内射环但不是FP－内射环．

问题：右small内射模是否是右FP－small内射模？

由如下例子可知FP－small内射环不一定是small内射环．

例1 设R＝F［x1，x2，…］，其中F是域，xi是可交换的未知元，其满足关系：对任意i，＝0；对任意i≠j，xixj＝0；对任意i和j，．由［4，例5．45］，R是交换的FP－small内射环但不是内射环．注意到R还是semiprimary环，根据［11，定理3．16］，R不是small内射环．

命题1 设R是右FP－small内射环，n≥1，则：

（1）对（Rn）R的任意有限生成small子模K，L，．

（2）对任意a∈J（R），lRrR（a）＝Ra．

证明： （1）对（Rn）R的任意有限生成small子模K和L，显然．设x∈，则同态f：K＋L→R，f（k＋l）＝xk，k∈K，l∈L是定义良好的．注意到K＋L仍是（Rn）R的有限生成small子模．由假设，有f＝c·，其中c＝（x1，…，xn）∈Rn．于是c（k＋l）＝f（k＋l）＝xk，故（c－x）k＋cl＝0，k∈K，l∈L，这推出且，故x＝（x－c）＋．证出．

（2）设a∈J（R）且x∈lRrR（a），则rR（a）⊆rR（x）．于是同态f：aR→R，ar→xr，r∈R是定义良好的．因为R是右FP－small内射环，根据注1（1），同态f可以扩充到g：R→R．故有x＝f（a）＝g（a）＝g（1）a∈Ra，这推出．另外一包含关系是显然的．□

环R称为右PS－内射［13］，如果任意主small右理想aR到R的同态可以扩充到R→R，等价于，对任意a∈J（R），lRrR（a）＝Ra（参见［13，引理2．3］）．由上述命题，右FP－small内射环是右PS－内射环．但反之不然．

例2 设F是域，是F的子域．是的域同构．令R是以｛1，t｝为基的左向量空间．对任意a∈F，定义t2＝0且，则R作为F上的代数．可知R是右PS－内射环．但是根据［13，注2．14］，R不是右FP－small内射环．

现构造一左FP－small内射环但不是右FP－small内射环的例子．此例子来源于文献［16］．

例3 设F是域，R是F上的代数，基为｛1｝∪｛ei｜i≥0｝∪｛xi｜i≥1｝，其中1是R的单位元，对任意i，j，eiej＝δijej，xiej＝δi，j＋1xi，eixj＝δijxj，且xixj＝0．由［4，例5．46］，R是左FP－内射环，于是其是左FP－small内射环．注意到xi∈J（R）且x1R→e0R，x1e0不能扩充到R→e0R．于是R不是右PS－内射环，因此也不是右FP－small内射环．

如下结论类似于［10，定理1］．

定理1 设R是环且n≥1，则下述等价：

（1）R是右FP－small内射环．

（5）如果RK⊆Jn是有限生成的，则，其中X⊆Mn（R）．

（6）Mn（R）是右PS－内射环．

证明：（1）⇔（6）由［13，定理2．11］．

（3）⇒（4）．设A∈Mm×n（R）是以为行的矩阵．由假设，有，于是根据（3），．如果，则．

（4）⇒（5）．设K＝，则．故，根据（4），，则推出．再由［4，引理5．40］，K＝，其中X⊆Mn（R）．

（5）⇒（6）．任取A∈J（Mn（R）），设是A的第i行，记K＝，故K⊆Jn．根据（5），K＝，X⊆Mn（R）．而Mn（R）A＝．再由［13，引理2．3］，Mn（R）是右PS－内射环．□

注2 由上述定理和［13，命题2．9］，右FP－small内射环是Morita不变量．

众所周知，环R是右FP－内射环当且仅当有限表示左R－模是无扰模［7］．而有如下结论．

命题2 环R是右FP－small内射环当且仅当small有限表示左R－模是无扰模．

证明：设R是右FP－small内射环．如果RK是Rn的有限生成small子模，不妨记，则∈Jn．只需证明存在单同态f：Rn／K→（RR）I，或证明如果，则存在同态g：Rn→R使得g（K）＝0，g（b）≠0．若没有这样的同态g存在，则g（K）＝0推出＝0．由［4，引理5．38］，，再根据定理1，＝K，证出矛盾．

文献［17］证明了环R是半正则环当且仅当有限表示右R－模有投射盖．因此，若R是半正则环，则有限表示右R－模是small有限表示模．于是有如下结论．

命题3 设R是半正则环，则R是右FP－内射环当且仅当R是右FP－small内射环．

推论1 设R是半完全环，则R是右FP－内射环当且仅当R是右FP－small内射环．

现在利用FP－small内射性给出FP－环的刻画．

定理2 设R是环，则下述等价：

（1）R是FP－环．

（2）R是半完全，右FP－small内射环且soc（RR）≤eRR．

（3）R是半完全，左FP－small内射环且soc（RR）．

（4）R是半完全，右FP－small内射和右Kasch环．

（5）R是半完全，左FP－small内射和左Kasch环．

（6）R是半完全，右FP－small内射环且J（R）＝rR｛k1，…，kn｝，其中｛k1，…，kn｝∈R．

（7）R是半完全，左FP－small内射环且J（R）＝lR｛m1，…，mn｝，其中｛m1，…，mn｝∈R．

（8）R是右Kasch，右FP－small内射和左min－CS环．

（9）R是左Kasch，左FP－small内射和右min－CS环．

证明：（1）⇔（2）⇔（3）由［4，定理5．57］和推论1可证．

（1）⇔（4）⇔（5）⇔（6）⇔（7）由［10，定理5］和推论1．

（1）⇒（8）和（9）根据［4，定理5．61］．

（8）⇒（2）．由于右FP－small内射环是右PS－内射环，而且还是右极小内射环．由［4，定理2．31］，单右R－模的对偶模是单的．根据［4，定理4．8］，R是半完全环且soc（RR）≤eRR．

（9）⇒（3）类似于（8）⇒（2）的证明．□

推论2 如果R是右FP－small内射环，soc（RR）≤eRR且升链rR（a1）⊆rR（a2a1）⊆…⊆rR（anan－1…a1）⊆…是稳定的（a1，a2，…∈R），则R是FP－环．

证明：注意到R还是右极小对称环．于是，根据［12，引理2．2］，R是右完全环．再由定理2，R是FP－环．□

注3 上述推论中的条件“soc（RR）≤eRR”不能省略．设R＝Z是整数环，则R是FP－small内射环和Noether环．由于R不是FP－内射环，所以R不是FP－环．

设M是模．socle序列：soc1（M）⊆soc2（M）⊆…是M的子模链．定义为soc1（M）＝soc（M），当n＞1时，socn＋1（M）由socn＋1（M）／socn（M）＝soc［M／socn（M）］定义．

根据推论1和［4，定理5．66］，有：

推论3 设R是左完全，右FP－small内射环．则下列结论成立．

（1）R是QF－环当且仅当soc2（R）是有限生成右R－模．

（2）R是QF－环当且仅当R／soc（R）是有限上生成左R－模．

（3）如果R还是右完全环，则R是QF－环当且仅当soc2（R）是有限生成左R－模．

2 J－内射性

以下将研究环与模的J－内射性．

定义3 右R－模M称为J－内射模［6］，如果对任意有限生成small右理想I，Ext1（R／I，M）＝0．环R称为右J－内射环，如果R是J－内射右R－模．对偶地，有左J－内射环的定义．

由定义易证J－内射模关于扩张，直和，直积以及直和项封闭．

注4 现给出J－内射模的例子．

（1）右f－内射模是右J－内射模．反之不然．例如：R＝ℤ是J－内射环但不是f－内射环．

（2）右FP－small内射模是右J－内射模．

（3）右small内射模是右J－内射模．正如下列命题，反之不然．

命题4 设R是环，则下列条款等价：

（1）J（R）是Noether右R－模．

（2）右J－内射R－模是small内射模．

证明：（1）⇒（2）．由假设，任意small右理想I是有限生成的．因此对任意J－内射R－模M和R－模同态f：I→M，存在R－模同态g：R→M使得gi＝f，这里i：I→R是嵌入映射．证出M是右small内射模．

（2）⇒（1）．设E＝⊕i∈IEi，其中Ei是右small内射模，故E是右J－内射模．由（2），E是右small内射模．再根据［12，定理2．17］，J（R）是Noether右R－模．□

注5 设R是例1中的环．记．则J（R）＝span｛m，x1，x2，…｝不是Noether模．由命题4，存在R－模是J－内射模但不是small内射模．

下列命题类似于命题3．

命题5 设R是半正则环，则R是右f－内射环当且仅当R是右J－内射环．

注6 右J－内射环显然是右PS－内射环．由例2可知右PS－内射环不一定是右J－内射环．事实上，如果设例2中的环R是右J－内射环，根据命题5，R是右f－内射环，故其还是右2－内射环．由［4，推论5．32］，R是左GPF环，与［4，例5．34］的结论矛盾．

环R称为右IN－环［17］，如果对R的任意右理想T，T′，lR（T∩T′）＝lR（T）＋lR（T′）．如果对R的small右理想T，T′，有lR（T∩T′）＝lR（T）＋lR（T′），就称R为右WIN－环．右IN－环显然是右WIN－环．由［13，引理2．3］和［6，命题2．3］，有如下结论．

命题6 右PS－内射，右WIN－环是右J－内射环．

命题7 设R是环，则下述等价：

（1）R是半本原环．

（2）任意左（右）R－模是small内射模．

（3）任意左（右）R－模是FP－small内射模．

（4）任意左（右）R－模是J－内射模．

（5）任意左（右）R－模是PS－内射模．

（6）任意左（右）单R－模是small内射模．

（7）任意左（右）单R－模是FP－small内射模．

（8）任意左（右）单R－模是J－内射模．

（9）任意左（右）单R－模是PS－内射模．

证明：（1）⇔（2）⇔（6）由［12，定理2．8］可证．

（1）⇔（5）⇔（9）由［13，命题2．18］．

（1）⇔（3）⇔（7）和（1）⇔（4）⇔（8）显然．□

推论4 设R是环，则下述等价：

（1）R是半本原环．

（2）R是右small内射环并且单奇异右R－模是small内射模．

（3）R是右FP－small内射环并且单奇异右R－模是FP－small内射模．

（4）R是右J－内射环并且单奇异右R－模是J－内射模．

（5）R是右PS－内射环并且单奇异右R－模是PS－内射模．

证明：（1）⇒（2）⇒（4）⇒（5）和（1）⇒（3）⇒（4）显然．

（5）⇒（1）根据［14，定理2．3］．□

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