李煜彦

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南742500)

0 引言

extending模的概念可以追溯到20世纪30年代von Neumann的工作,他对量子力学的兴趣使他发展了“连续几何学”.近年来,extending环和模的相关理论已在环模理论中占有重要地位.称M 是extending模,如果M的任意子模是其直和因子的本质子模.2012年,Çeken和Alkan[1]从遗传挠理论的角度引入τ-本质子模和τ-extending模的概念,研究了任意子模都存在唯一的τ-闭包的模,并称之为τ-UC模.2014年,Albu[2]利用τ-本质子模证明了相对的 Ossofsky-Smith定理.2017年,Çeken和Alkan[3]研究了τ-奇异模和非τ-奇异模,它是奇异模和非奇异模的真推广,文中研究了A是B的τ-本质子模与B/A是τ-奇异模之间的紧密关系.2011年至2019年期间,Asgari和Haghany[4-7]等人从Goldie挠理论的角度提出了τ-本质子模的概念,分别研究了τ-extending模,τ-半单模,τ-连续模,τ-拟连续模等.2014年,Hatipoˇglu[8]研究了稳定挠理论和单模的内射包,给出了左单模的内射包是局部Artinian的左Noetherian环的挠理论刻画.文[1]中作者举例说明了τ-闭子模不一定是闭子模,从而extending模未必是τ-extending模.一个自然的问题是,什么情况下τ-闭子模是闭子模? 这是一个值得研究的问题.本文以此为启发,从稳定挠理论的角度对问题进行了研究.设τS表示稳定挠理论,给出了τS-本质子模的等价刻画,讨论了τS-闭子模和闭子模之间的关系,证明了K是M的τS-闭子模当且仅当K是M的包含τS(M)的闭子模.进而,给出了τS-extending模的等价刻画,证明了M 是τS-extending模当且仅当M=τS(M)⊕M',其中M'是(τS-挠自由)extending模.本文中的环都是有单位元的结合环,模指酉右R-模.除特别声明外,挠理论均指稳定挠理论.

设τ是遗传挠理论,称N是M的τ-本质子模,是指对任意A≤M,若N∩A≤τ(M),则A≤τ(M),记为N◁τM,此时也称M是N的τ-本质扩张.如果N没有真τ-本质扩张,则称N是M的τ-闭子模,记为N≤tcM.设K,N≤M,称K是N在M中的τ-补,如果K是{L≤M|L∩N≤τ(M)}中的极大元.称M是τ-extending模,如果M的每个τ-闭子模是M的直和因子.称挠理论是稳定的,如果挠类关于内射包封闭;等价地说,τ(M)是M的闭子模.用τ和τS分别表示遗传挠理论和稳定挠理论.用N≤M和N≤eM分别表示N是M的子模和N是M的本质子模.

1 预备知识

引理1[1]设τ是任意的遗传挠理论,则以下对模M成立:

(1)若N◁τM,则对任意L≤M,都有N∩L◁τN;

(2)若K◁τK'≤M,L◁τL'≤M,则K∩L◁τK'∩L';

(3)设{Ai}i∈I和{Bi}i∈I分别是M的相互独立的子模族.则⊕IAi◁τ⊕IBi当且仅当对任意i∈I,Ai◁τBi;

(4)设f:M→N是R-同态映射.若W◁τN,则f-1(W)◁τM.

引理2[9]设C≤M,则以下等价:(1)C是M的补子模;(2)C是M的闭子模;(3)存在E(M)的直和因子X,使得C=X∩M.

引理3[10]设A,B≤M.则A是B在M中的补当且仅当A∩B=0,且A⊕B≤eM.

引理4 设M=M1⊕M2,A,B≤M1.则A是B在M1中的补,当且仅当A⊕M2是B在M中的补.

证明:必要性.设A是B在M1中的补,则由引理3知,A∩B=0,且A⊕B≤eM1.于是(A⊕M2)∩B=0,(A⊕M2)⊕B=(A⊕B)⊕M2≤eM1⊕M2=M.因此A⊕M2是B在M中的补.

充分性.与必要性的证明是类似的.

引理5[1]设M=M1⊕M2,A,B≤M1.则A是B在M1中的τ-补,当且仅当A⊕M2是B在M中的τ-补.

2 主要结论

下面给出τS-本质子模的等价条件.

性质1 设N≤M,考虑以下条件:

(1)N≤τSM;

(2)对任意m∈MτS(M),存在r∈RτS(R),使得mr∈NτS(N);

(3)(N+τS(M))/τS(M)≤eM/τS(M);

(4)N+τS(M)≤eM.

证明 :(1)⇔(2)由引理1得证.

(1)⇔(3)由文献[11]性质2.2得证.

(3)⇒(4)由文献[12]性质1.5得证.

(4)⇒(3)因为τS是稳定的挠理论,所以τS(M)是M的闭子模,由文献[12]性质1.10知,若N+τ(M)≤eM,则

(N+τS(M))/τS(M)≤eM/τS(M).

下面例子说明,对于任意遗传挠理论τ,τ-闭子模不一定是闭子模.

一个自然的问题是,什么情况下τ-闭子模是闭子模.下面结论表明,当τ是稳定挠理论τS时,τS-闭子模是闭子模.

定理1 设K≤M,则以下等价:

(1)K是M的τS-补子模;

(2)K在M中是τS-闭的;

(3)τS(M)≤K,且K/τS(M)在M/τS(M)中是闭的;

(4)τS(M)≤K,且K在M中是闭的;

(5)K是M的一个τS-挠自由子模的补.

证明:(1)⇔(2)由文[1]性质2.11得证.

(2)⇒(3)设K在M中是τS-闭的,则由文[1]知,K在M中是τS-纯的.所以τS(M)=τS(K)≤K.

设存在L≤M,使得K/τS(M)≤eL/τS(M).由性质1知,K◁τSL,因此K=L.从而K/τS(M)=L/τS(M).

(3)⇒(4)设存在L≤M,使得K≤eL.由于τS(M)≤K,且τS(M)在M中是闭的,由[12]知,K/τS(M)≤eL/τS(M).因此由(3)知K/τS(M)=L/τS(M),从而K=L.

(4)⇒(5)设τS(M)≤K,且K在M中是闭的.由引理2知,存在E(M)的直和因子X和Y,使得K=X∩M,E(M)=X⊕Y.令H=M∩Y,则K∩H=0.于是τS(H)=H∩τS(M)⊆H∩K=0,故H是M的一个τS-挠自由子模.由引理2中(3)⇒(1)的证明过程可得,K是H在M中的补.

(5)⇒(2)设W≤M,τS(W)=0,且K是W在M中的补.设存在K'≤M,使得K◁τSK'.下证K=K'.因为τS(W)=W∩τS(M)=0,所以τS(M)≤K.于是由性质1知,K≤eK'.从而K=K'.

由定理1知,τS-闭子模的是闭子模,故extending模是τS-extending模.下面给出τS-extending模的等价刻画.

定理2 以下对模M等价:

(1)M是τS-extending模;

(2)M=τS(M)⊕M',其中M'是(τS-挠自由)extending模;

(3)M的包含τS(M)的任意子模是其直和因子的本质子模;

(4)对M的任意子模H,存在M的直和因子K,使得H◁τSK.

证明:(1)⇒(2)设M是τS-extending模.因为τS(M)是M的τS-闭子模,所以存在M的直和因子M',使得M=τS(M)⊕M'.由于M'≅M/τS(M),故M'是τS-挠自由的.

下面只需证M'是extending模.

设K是M'的闭子模.由引理4知,τS(M)⊕K是M的闭子模.于是由性质1知,τS(M)⊕K是M的τ-闭子模.因此存在M的子模N,使得M=(τS(M)⊕K)⊕N.从而M'=M'∩ ((τS(M)⊕K)⊕N)=K⊕(M'∩(τS(M)⊕N)),即K是M'的直和因子.因此M'是extending模.

(2)⇒(3)设N≤M,且τS(M)≤N.则N=N∩(τS(M)⊕M')=τS(M)⊕(N∩M').故存在M'的直和因子L,使得N∩M'≤eL.因此N=τS(M)⊕(N∩M')≤eτS(M)⊕L,而τS(M)⊕L是M的直和因子,所以结论成立.

(3)⇒(4)设H≤M,由(3)知,存在M的直和因子K,使得τS(M)+H≤eK.由性质1知,H◁τSK.

(4)⇒(1)由[1]引理3.2得证.

下面给出几个τS-extending模的例子.

例2由于任意挠自由有限生成Z-模是extending模,故由定理2可知,任意挠自由有限生成Z-模是τS-extending模.

例3设M是R-模.因为M/τS(M)是τS-挠自由的,内射模是extending模,所以E(M/τS(M))是τS-挠自由的extending模.从而由定理2知,E(M/τS(M))⊕τS(M)是τS-extending模.

下面结论说明τS-extending性质关于直和因子和τS-闭子模是遗传的.

性质2 设M是τS-extending模,则以下结论成立:

(1)M的任意直和因子是τS-extending模;

(2)M的任意τS-闭子模是τS-extending模.

证明:(1)设N是M的直和因子,L是N的τS-闭子模.不妨设M=N⊕N',由引理5知,L⊕N'是M的τS-闭子模,所以L⊕N'是M的直和因子.故L是N的直和因子,从而N是τS-extending模.

(2)显然的.

设M,N是R-模.称N是M-jective的,如果N在M⊕N中的任意补是M⊕N的直和因子.由[13]知,M=M1⊕M2是extending模当且仅当对任意i≠j∈{1,2},Mi是extending模且Mj-jective的.类似地,下面给extending模与τS-extending模之间的一个关系.

性质3 M=τS(M)⊕N是extending模当且仅当M是τS-extending模,τS(M)是extending模以及τS(M)是N-jective的.

证明:必要性.设M=τS(M)⊕N是extending模,易知M是τS-extending模,τS(M)是extending模.设K是τS(M)在M中的补,则K是M的闭子模,故K是M的直和因子.从而τS(M)是N-jective的.

充分性.设M是τS-extending模,则由定理2知,M=τS(M)⊕N,其中N是extending模.下面只需证N是τS(M)-jective的.设L是N在M中的补,则τS(M)≤L.由定理1知,L是M的τS-闭子模.所以L是M的直和因子.从而N是τS(M)-jective的.