段建东， 孙东阳， 吴凤江， 赵克， 孙力

（1.哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院，黑龙江哈尔滨 150001;2.哈尔滨理工大学电气与电子工程学院，黑龙江哈尔滨 150080）

0 引言

微型燃气轮机具有体积小、重量轻、高效率、低排放等特点，能够使用天然气、生物沼气、柴油等多种燃料，不依赖于单一能源形式，对缓解全球化的能源危机具有重要意义，近年来得到了迅速发展［1－3］。

传统简单循环微型燃气轮机使用较多的一类模型是直接利用了重型燃气轮机的模型，以Rowen模型和 IEEE模型为代表［4－5］，这类模型的各个环节在设计工况附近简化为一阶线性环节或延迟环节，未对燃气流量、压气机压比、透平膨胀比、效率等过程量建模，未对有回热器的情况建模，因此变工况运行的模型准确性较差。另一类较为复杂的模型是基于模块化建模思想利用压气机、透平实测特性曲线建立的流体网络模型［6－7］，这类模型具有很高的准确性，但由于采用实测特性曲线建模使得通用性较差，在设计阶段难以使用。本文针对回热循环微型燃气轮机的特点，利用有限信息建模思想［8］，折中考虑模型的通用性和精细性［9］，选取主要惯性环节而忽略次要环节［10］，建立了动态模型，采用通用特性的解析式表达增加了模型的通用性。

为了研究系统变工况的动静态特性，基于所建立的模型确定了变工况效率最优运行方式，得到系统的状态变量和主要参数随输出功率变化规律。利用所得的变工况平衡点进行分段线性化，提出状态反馈控制。由于在不同平衡点处的系统矩阵具有较大差异，可能导致固定输出误差反馈矩阵的状态观测器在全工况下发散或者观测误差衰减特性差异较大，为此设计固定衰减特性状态观测器。最后参考实验数据和仿真结果证明所提模型和控制规律的正确性。

1 微型燃气轮机非线性数学模型

考虑所建立的微型燃气轮机非线性状态空间方程用于控制特性的研究，故有以下假设：燃气和空气的绝热指数和定压比热不变;忽略压气机和透平的能量存储效应;忽略燃料的热焓值;变工况燃烧效率不变;各压力损失系数不变;回热器空气、燃气与金属壁的换热系数相等［11－13］;忽略管道的容积效应。根据能量守恒和质量守恒原理可得主要的状态空间方程有

式中：Mm为回热器参与换热的金属质量，kg;cm为金属壁面的比热，J/kg·K;Tm为金属壁面的平均温度，K;“*”表示滞止参数;Gt为透平的质量流量，kg/s;cpg为燃气的平均定压比热，J/kg·K;T4为透平的排气温度，K;T4'为回热器热端排气温度，K;Gc为压气机的质量流量，kg/s;cpa为空气的平均定压比热，J/kg·K;T2为压气机的排气温度，K;T2'为回热器冷端排气温度，K;P3为透平的进气总压，Pa;Rm为燃气平均气体常数，J/kg·K;cvm为燃气平均定容比热，J/kg·K;Vcham为燃烧室容积，m3;T3为透平进气温度，K;Qu为燃料低发热量，J/kg;ηB为燃烧效率;Gf为燃料的质量流量，kg/s;J为转子转动惯量，kg·m2;n为转子转速，r/s;PL为负载功率，W。

系统的主要静态关系有

1）压气机

式中：γa=（κa－1）/κa;κa为空气的绝热指数为压气机进气总温，K;πc为压气机压比;ηc为压气机效率，其折合量可用解析公式表示为［14］

2）回热器

由回热器冷端吸热与金属壁面放热能量相等可得

式中：αa为空气与金属壁面的换热系数，J/m2·K;Aa为空气与金属壁面的换热面积，m2。由回热器热端放热与金属壁面吸热能量相等可得

式中：αg为燃气与金属壁面的换热系数，J/m2·K;Ag为燃气与金属壁面的换热面积，m2。对于逆流型回热器，变工况时回热度解析式可表示为［15］

式中：α为综合换热系数，忽略换热板的导热热阻则有 1/α =1/αa+1/αg［16］，考虑前面的假设条件有α=αa/2。变工况时综合换热系数与流量存在以下关系，即

微燃机的输出功率Pout=Pt－Pc，微型燃气轮机的主要参数：压气机进气总温=288.15K;外界大气压强P0=101.325 kPa;压气机的参考质量流量Gcref=0.31 kg/s;转子参考转速nref=1 600 r/s;压气机参考压比πcref=3.2;压气机参考效率 ηcref=0.8;透平进气参考温度T*3ref=1 089 K;透平参考效率ηtref=0.87;燃料参考质量流量Gfref=0.002 4 kg/s;透平参考排气温度=866 K;转子转动惯量J=

1.626 5 kg·m;压气机进气总压恢复系数 a1=0.988 8;透平进气压损系数a2=1.04，透平排气总压恢复系数a3=0.94;回热器参与换热的金属质量Mm=36.6 kg;燃烧室容积 Vcham=7.780 87 ×10－3m3;空气平均定压比热cpa=1004.7 J/kg·K;燃气平均定压比热cpg=1 156.9 J/kg·K;燃气平均气体常数Rm=287.4 J/kg·K;金属壁面比热cm=875 J/kg·K;空气绝热指数κa=1.4;燃气绝热指数κg=1.33;压气机解析公式中常数c1=0.4，c2=0.05，c3=0.25;透平解析公式中常数t1=0.4;回热器换热面积A=51.4 m2;回热器换热系数αref=25.53 J/m2·K。

输入变量 u=Gf，输出变量 y=n。将式（4）～式（19）代入式（1）～式（3）中整理得

由于篇幅限制式（20）的具体形式没有列出，由式（1）～式（19）可知，由于系统流量、温度、效率等量在变工况时亦随之发生变化，同时各变量之间存在着非线性的耦合关系，微型燃气轮机模型为典型的非线性数学模型。

2 效率优化稳态求解

一般微型燃气轮机变工况运行时转速不变，但变转速具有更高的运行效率。基于稳态模型的恒转速和效率最优变转速仿真对比见图1所示。在变工况时变转速运行具有较高的效率，相同输出功率下耗油量较少。

变工况运行时系统的平衡点随输出功率的变化而不同，通过稳态模型求解，利用数值逼近方法可得状态变量随输出功率的多项式解析表达式为

图1 恒转速和效率最优运行方式对比Fig.1 Comparison of constant speed and optimal efficiency operation modes

3 全工况状态反馈控制策略

3.1 状态反馈控制律

整理得到的线性化状态空间表达式为根据式（21）从慢车状态到额定工况有无数多个平衡点，为了便于分析，按照输出功率每5 kW取一个平衡点，在每个平衡点处线性化。本文采用状态反馈控制，运用极点配置技术确定了适应于全工况的状态反馈增益矩阵为

采用上述增益状态反馈的闭环系统极点见表1所示。可知增加增益矩阵后系统从慢车状态到额定工况的所有极点都位于复平面的左半平面，在所有工况下是稳定的。

表1 变工况闭环系统极点Table 1 Closed-loop system poles under difference operation conditions

图2画出了线性反馈闭环极点随输出功率的变化曲线图，图2（a）和图2（b）分别为极点1和极点2的复平面图，图中箭头方向代表功率增大。图2（c）为极点3的实部随输出功率的关系，在20 kW附近存在最大值。

图2 闭环极点与输出功率的关系Fig.2 Diagrams of relationships between the closed-loop poles and the output power

3.2 全工况固定衰减特性状态观测器

上节将回热循环微型燃气轮机非线性模型在额定平衡点线性化，并设计了状态反馈增益矩阵，在全工况范围内系统稳定。但状态变量x1，x2是不可直接测量变量，必需构建状态观测器。在不同的平衡点处系统矩阵A具有较大差别，针对某一平衡点设计状态观测器难以保证观测器的镇定且收敛速度不同，这势必影响这个系统的动态特性。因此本文提出基于全工况固定衰减特性求解变工况观测器输出误差反馈矩阵。经检验系统完全能观，故存在状态观测器，变量x3可直接测量，不难得出降维观测器方程为

为了说明这种设计方法的实现过程和有效性暂令λ1=－3，λ2=－4进行分析，经数值计算可得观测器输出误差反馈系数随输出功率的变化规律为

观测器输出误差反馈系数随输出功率关系如图3所示，g1和g2随输出功率变化较光滑，在20 kW附近存在极值。

图3 观测器输出误差反馈系数与输出功率的关系Fig.3 Diagrams of relationships between the observer output error feedback coefficients and the output power

4 系统仿真及实验验证

利用仿真软件Matlab2011，根据本文建立的回热循环微型燃气轮机非线性模型和效率优化控制策略搭建了仿真系统，系统框图如图4所示，关于温度控制环、燃料系统和加速度控制环与Rowen模型相同。

图4 仿真系统框图Fig.4 Simulation system configuration

图5 仿真结果与C30测试数据对比Fig.5 Comparison of simulation results and C30 test datas

将仿真结果与Capstone公司公布的C30微型燃气轮机测试数据［18－19］进行了对比，如图5所示。图5（a）为效率随输出功率的关系图，可知仿真结果和C30数据均表明效率随输出功率的增加而增大且趋势一致。经与文献［20］对比结论相同。图5（b）、图5（c）分别为燃料流量和转速随输出功率的关系图，仿真结果与C30数据基本一致，燃料流量和转速与输出功率近似成比例。表明本文基于回热循环微型燃气轮机非线性模型的效率优化控制策略是正确而有效的。

利用效率优化全工况运行平衡点进行分段线性化和基于状态观测器的状态反馈控制设计结果，进行了仿真，结果如图6所示。系统开始运行于慢车状态，在500 s时阶跃变为额定工况。由图可知整个动态过程经历了大约200 s，图6（a）为金属壁面平均温度的阶跃响应，有状态观测器时具有超调，但具有良好的稳态精度。图6（b）、图6（c）分别为透平进气压强和转速阶跃响应，有、无观测器的仿真结果具有很好的一致性。仿真结果证明所设计的状态反馈控制和状态观测器在全工况下能够稳定运行，稳态无静差，动态过程快速。

图6 有、无状态观测器系统阶跃响应对比Fig.6 Comparison of system step responses with and without observers

利用前面基于全工况固定衰减特性求解变工况观测器输出误差反馈矩阵的设计结果进行了仿真，与固定观测器输出误差反馈矩阵进行了对比。系统开始运行于慢车状态，500 s时阶跃到输出功率15 kW的平衡点，固定误差系数取额定工况时的值。仿真结果如图7所示，图7（a）为金属壁面平均温度Tm观测器误差，图7（b）透平进气压强P3观测器误差，显然变误差系数具有更快的收敛速度。

图7 固定误差系数和变误差系数状态观测器对比Fig.7 Comparison of the state observer with fixed error coefficients and variable error coefficients

5 结语

本文建立了回热循环微型燃气轮机非线性模型，确定了效率最优的变工况运行方式。基于效率优化全工况运行平衡点分段线性化模型设计状态反馈控制系统，分析闭环极点随输出功率的运动轨迹，确保全工况运行的稳定性。设计具有全工况固定衰减特性的状态观测器，以解决变工况系统矩阵具有较大差异导致观测器不稳定问题。仿真结果与C30数据对比表明所提效率优化控制策略的正确性，且具有很好的动静态特性。

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（编辑：张诗阁）