王 鹏，王 军，蔡袁强, ，丁光亚

（1.温州大学 建筑与土木工程学院，浙江 温州 325035；2.浙江大学 建筑工程学院，杭州 310058）

1 引 言

基础对激震波的散射以及由此造成的地基与基础的耦合振动研究一直是土动力学和地震工程中的重要课题，前人对此做了许多卓有成效的研究[1－5]。但以往大部分研究都把土体模拟成弹性介质，而由于地下水的存在，把土体模拟成两相介质更为合理。同时由于Rayleigh 波传播所携带的能量要比纵波（P 波）及剪切波（SV 波）大得多，且几何衰减又慢，Rayleigh 波已被认为是危害较大的地震波。在建筑施工、交通车辆及机器运行所产生的振动波中，Rayleigh 波也是占主要形式的波种。因此，对Rayleigh 波作用下基础的振动特性进行研究显得尤为必要。

在弹性波动理论的基础上，众多学者对饱和土中Rayleigh 波的各种特性进行了比较详尽的研究。Tajuddin[6]建立了考虑2种压缩波的Rayleigh波特征方程。夏唐代等[7－8]通过对饱和土中波的运动方程及连续方程分析，推导了饱和半空间土层中Rayleigh波弥散特征方程，并由此讨论了Rayleigh 波的弥散特性及位移、孔压分布情况。刘凯欣等[9]基于Biot理论研究了横观各向同性饱和多孔介质中Rayleigh波的传播特性，导出了广义Rayleigh 波的三维复合方程，给出了Rayleigh 波的存在条件。在Rayleigh波导致的饱和土与结构相互作用方面，陆建飞等[10]利用Muki 的虚拟桩方法，研究了频域内半空间饱和土中单桩在Rayleigh 波下的动力响应。Cai 等[11]对饱和半空间中非连续屏障对Rayleigh 波的隔振效果进行了研究。

基于Biot 波动理论，本文采用半解析的方法对饱和地基表面刚性圆形基础在Rayleigh 波作用下的摇摆振动问题进行了研究。首先引入势函数求解土体控制方程，得到饱和土体中的Rayleigh 波场并视其为自由波场，随后采用Hankel 变换求解土体控制方程得到土体应力-位移表达式。为考虑基础对Rayleigh 波的散射以及地基与基础的动力相互作用，将土体中的散射波场定义为辐射散射波场及刚体散射波场的叠加。结合基础摇摆振动的混合边值条件及基础的动力平衡方程，最终得到基础的摇摆振动位移幅值表达式，并对相关参数进行了分析。

2 基本动力方程

分析模型如图1 所示，半径为 r0的圆形基础位于饱和地基表面并受Rayleigh 波的作用，坐标系原点 O1位于基础下表面中心点处。假定地基为饱和半空间，由均质弹性饱和多孔两相介质组成，基础为有质量的刚性圆盘，基底与地基之间紧密接触，接触面光滑且相互之间无滑移。同时假定所有的运动形式皆为简谐运动，则各运动形式可表示为时间t的函数，即 f (t ) = f eiωt，为简略起见，下文中省去因子

eiωt。

图1 分析模型及坐标系统 Fig.1 Analytical model and coordinate system

2.1 饱和土体中的Rayleigh 波

根据Biot 波动理论[12－13]，饱和土体的基本运动方程为

引入标量势sφ 、fφ 和矢量势sψ 、fψ ，将位移场场作如下分解：

式中：下标s、f 分别表示固体部分和流体部分。

将式（2）代入式（1），可得到半空间饱Rayleigh波的势函数

式中：1A 、2A 、3A 为常数； /k cω= 为Rayleigh波波数，c 为Rayleigh 波相速度，ω 为角频率；1a=， a2= 1-， a3= 1-，vp1、vp2为压缩波波速；sv 为剪切波波速；1γ 、2γ 、3γ 为饱和土中液相与固相势函数的比值。p1v 、p2v 、sv 、1γ 、2γ 、3γ 具体取值见文献[11]。

饱和土应力与势函数关系为

式中：zσ 、xzτ 为土骨架应力；fp 为孔隙水压力。

若假设饱和地基表面透水，则在 0z= 处：

若饱和地基表面不透水，则在 0z= 处：

式（3）结合边界条件式（5）、（6），可得到不同透水条件下Rayleigh 波波速的解，进而可得到饱和地基中Rayleigh 波势函数的表达式。

2.2 饱和土体控制方程求解

在圆柱坐标系下，式（1）可表示为

饱和土应力-应变关系为

为考虑θ 的影响，将所有位移及应力对θ 进行如下形式的Fourier 展开：

引入以下无量纲参数： ω0=、 λ*=

并定义位移由0r 无量纲化，应力由μ 无量纲化。

利用Hankel 变换并结合式（8）、（9），按蔡袁强等[15]运用的方法对式（7）进行求解：

式中：上标n 表示对函数进行n 阶Hankel 变换，下标n 表示对θ 进行Fourier 展开后的第n 阶函数；A1n、 A2n、 A3n为包含ε 的待定系数。变量 q1、 q2、

3q 、21c 、22c 、31c 、32c 、41c 、42c 、43c 、51c 、52c的取值为

其中

在此，参数 q1、q2、满足 Re( q1) ＞ 0，R e( q2) ＞ 0，Re( q3) ＞ 0。

3 边界条件及求解

饱和地基中刚性基础的摇摆振动研究属于混合边值问题，即在基底给定位移，在基底外给定应力。无量纲化后*0z = 处的边界条件为

当地基表面透水时：

当地基表面不透水时：

定义入射Rayleigh 波场为饱和半空间中的自由波场，描述了其在饱和半空间中的传播特性，用 ufree表示。由于饱和半空间表面刚性基础的存在，Rayleigh 波会发生散射，此时可将刚性基础看作一个次生波源。根据Pao 等[16]所提出的弹性波散射理论，土体中的散射波场可划分为2 部分，一部分为刚体散射波场 uS，一部分为辐射散射波场 uR。前者为入射波在传播过程中遇到固定的刚性基础时产生的散射波，表示基础在自由波场与刚体散射波场的共同作用下，位移为0；后者为刚性基础在振动过程中产生的波辐射，其中包含了基础尚属未知的振动幅值。根据以上定义，此时饱和土体中的全波场可定义为 Utot= ufree+ uS+ uR。

根据土体中波场的划分，当饱和地基表面透水时，式（18）、（21）可转化为

而当地基表面不透水时，

当Rayleigh 波入射时，自由波场引起的无量纲竖向位移为[11]

式中：n=0 时 κn= 1； n ≠ 0时 κn= 2。

根据式（11）～（26）并结合三角函数的正交性，可得到2 组描述Rayleigh 波激励下基础摇摆振动的对偶积分方程

不透水条件下，

根据Nobel[17]提出的方法，将式（28）、（29）化为第2 类Fredholm 积分方程

式中： ( , )K x y 为核函数

作用在基底的力矩可由式（30）、（31）求得

式中： T*= T为力矩的无量纲形式。

定义

式中：0η 为输入位移，对应于入射Rayleigh 波作用下无质量刚性圆形基础的摇摆振动振幅。

根据式（33），并结合基础的动力平衡方程可得

式中： m*为基础无量纲质量， m*= m。

根据振动分析方法[18]，基础的摇摆位移幅值为

其中，

4 算例分析

如图2 所示，将饱和土体反映流体特性的参数取为极小值（a、 M*、 ρ*及 b*取为 10-5），从而把饱和地基模型退化到单相弹性介质的情况，计算了无质量圆形基础在Rayleigh 波作用下的摇摆位移振动幅值η0，并与Luco 等[19]的结果进行对比。按照Luco[19]的定义，U0为饱和半空间表面自由波场引起的土体竖向位移。可见本文结果与Luco 的结果能够较好地吻合，从而验证了本文方法的正确性。

图2 本文计算结果和Luco 的结果对比 Fig.2 Comparison between present work and Luco’s work

在此假设入射Rayleigh 波振幅为单位振幅，利用数值结果讨论了一些关键性参数对基础摇摆振动特性的影响，饱和土体参数取自文献[11]，无量纲化后为：α=1，λ*=1.004，M*=246.78，ρ*=0.45，n=0.37，v=0.1～0.4， b*=1～100。

图3 研究了基础摇摆振动位移幅值随入射波频率的变化，并给出了土体泊松比对摇摆位移幅值的影响。由图中可以看出，随着激振频率的增加，基础摇摆位移由0 开始增加，达到峰值后减小，位移曲线存在明显共振现象。

随着泊松比的增加，基础的共振振幅明显增大，共振频率也略有增加。在0ω 小于共振频率情况下，0ω＜0.4，不同泊松比下基础的摇摆振动位移曲线基本重合。

图3 不同ν 值时η 随ω0 变化 Fig.3 η versus ω0 under different values of ν

图4 研究了基础质量对基础摇摆振动的影响。图4 表明，基础质量的减小将导致基础共振频率及共振振幅的明显增大。由式（36）可以得知，在其他参数一定的情况下，基础质量的变化仅对共振频率产生影响。由于基础质量的减小导致基础共振点处频率的增大，入射波频率的增加造成了基础底部作用力矩的增长，最终导致基础共振振幅的增大。

图4 不同m*值时η 随ω0 变化 Fig.4 η versus ω0 under different values of m*

在饱和土体中，b*为反映土骨架与孔隙水黏性耦合的系数，随着 b*增大，土体渗透性逐渐降低。图5 反映了土体渗透性对基础摇摆振动的影响。同时将饱和土体反映流体特性的参数取为极小值（a、M*、 ρ*、 b*取为 10-5），把饱和两相介质退化到单相弹性介质的情况，而其他参数保持不变，将计算结果与饱和介质的振动情况进行对比。如图所示，由于饱和土体中孔隙水的作用，与单相弹性介质中摇摆振动相比，饱和地基中基础的摇摆振动共振振幅有所减小。同时随着土体渗透性的减小（ b*= 100），基础共振振幅明显减小，共振频率略有增加。但也可以发现，对于渗透性较小的土体，基础位移曲线的衰减要慢。当入射频率大于共振频率时，如ω0＞0.7 时，随 b*的增加，土体中基础的摇摆位移增大。

图5 不同b*值时η 随ω0 变化 Fig.5 η versus ω0 under different values of b*

图6 反映了Rayleigh 波作用下饱和地基表面透水条件对基础振动的影响。相比于透水边界的情况，当地基表面不透水时，基础的共振振幅有所减小。其原因在于不透水条件下，饱和地基中土骨架及孔隙水的相互作用更为强烈，激振波能量耗散，从而导致基础的摇摆振动减弱。

图6 不同透水条件下η 随ω0 变化 Fig.6 η versus ω0 under different drainage conditions

5 结 论

（1）无论其他参数如何取值，随频率的变化，基础摇摆振动存在共振现象。泊松比的增加或者基础质量的减小都将导致基础共振频率及共振振幅的增大。

（2）由于孔隙水的影响，饱和土中基础位移要小于弹性介质中的情况，随着土体渗透性减小，基础共振振幅随之减小，但位移曲线衰减减弱。

（3）由于水-土相互作用的影响，相比于不透水边界，透水边界下的基础摇摆振动更加剧烈。

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