左宏坤

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

一类带有时滞非线性系统的稳定性开关分析

左宏坤

（淮南师范学院 数学与计算科学系，安徽 淮南 232038）

针对一类带有时滞的非线性系统，通过对其平衡点处特征方程的分析，构造相应的李雅普诺夫函数，获得了平衡点处的稳定性开关变化的判别准则，并对开关值获取的算法进行了讨论和分析。

稳定性开关；平衡点；李雅普诺夫函数；数值解

1 引言

对于一般的非线性动力系统，我们通常是通过构造李雅普诺夫函数，来分析平衡点处的稳定性。但由于带有时滞系统的复杂性，通常的李雅普诺夫函数构造方法不是很适用，这里我们通过对其平衡点处特征方程的分析，再结合李雅普诺夫方法[1]和非线性系统的定性理论[2]，得到了一类带有时滞的非线性系统稳定性变化的判定准则，并获得了稳定性开关的算法，这里讨论的系统具体如下：

这里的n*，u*为系统（1）的平衡点，下面对方程（2）的特征根进行讨论。

2 稳定性开关的判定准则

为了便于对方程（2）特征根的讨论，将其转化为

则由稳定性理论可知道，iω（τ）是（4）的根，则 ω（τ）一定也为(7)的根,由此可以通过分析方程（7）来讨论系统（1）的稳定性,令 Ω⊂R+0，且Ω={τ│ω（τ）是（9）的正根}，

下面我们通过引入判别准则，来判断开关点处稳定性的变化。

此处 G（ω），F（ω）如前定义，当 δ±（τ）＞0 时，iω（τ*）从左至右穿过虚轴，当 δ±（τ）＜0 时，iω（τ*）从右至左穿过虚轴。

3 开关性质的进一步讨论及分析

由以上分析可知：

（1）若 τ∉Ω，则（7）无正根，即系统（1）无稳定开关。

（2）若对∀τ∈Ω，ω（τ）是（7）的正根，则由判别准则分析可知，若 δ±（τ）＞0，由稳定过渡到不稳定，若 δ±（τ）＜0，则由不稳定过渡到稳定。……