蹇 红，孙春涛

（重庆邮电大学数理学院，重庆 400065）

对CN－环与CT－内射的一些讨论

蹇 红，孙春涛

（重庆邮电大学数理学院，重庆 400065）

文章给出了CN－环、CT－内射及CT－内射维数的定义与性质，讨论了CN－环与GN－环以及CT－内射与自内射环的关系.

CN－环；CT－内射；CT－内射维数；无挠模；循环模

0 引 言

文［1］指出：环R是左noetherian环⇔f.g左R－模f.p.文［2］指出：环R是左coherent环⇔f.p左R－模的子模是f.p⇔f.p右R－模的对偶模是f.g左R－模.文［3］指出：环R是左Π－coherent环（也称GN－环）⇔f.g无挠左R－模f.p⇔f.g右R－模的对偶模是f.g左R－模.在左Π－coherent环上已经得到了大量的性质［4－5］.本文主要对CN－环、CT－内射模和CT－内射维数的概念和性质展开讨论.

本文所涉及的环均带有单位元，模均指酉模.用f.g表示有限生成模，用f.p表示有限表现模，用A＊表示A的对偶模HomR（A，R），δM表示同态M→M＊＊，当δM是单同态时，称M是无挠模，当δM同构时，称M是自反模，r（L）＝｛r∈R｜ar＝0，∀a∈L｝表示左理想L的零化子，l（I）＝｛r∈R｜ra＝0，∀a∈I｝表示右理想I的零化子.

下面给出本文所需要的概念.

定义1［6］设K是左R－模的A子模，称K是A的闭子模，若A/K是无挠模.

定义2［7］称环R是D－环，若对任给的右理想I，有rl（I）＝I和任给的左理想L，有lr（L）＝L.

定义3［8］称环R是右（左）P－内射，如果对每个同态f：aR（Ra）→R，都可提升R到R的一个同态上.

1 CN－环的基本性质

定义4 称环R是右CN－环，若R的任给循环左R－模的对偶模是有限生成右R－模.

定理1 设R是环，则下列条件是等价的：

（1）环R是右CN－环；

（2）循环无挠左R－模f.p；

证明 （1）⇒（2） 设M是循环无挠模左R－模，有正合列0→T→R→M→0，且有正合列0→M＊→R＊→U→0，其中U是循环模，则有下列交换图：

因δM是单同态，由文［1］三引理知，g是满同态，又由五引理知g是同构，即T≅U＊，故T是f.g，M是f.p.

（2）⇒（1） 设M是循环左R－模，有正合列0→K→R→M→0，则有正合列0→M＊→R＊→L→0，其中L是K＊的循环无挠子模，是f.p模，故M＊是f.g模……