王万军

(1.甘肃联合大学电子信息工程学院,中国 兰州 730000;2.兰州大学信息工程学院,中国 兰州 730030)

自从Gau与Buehrer于1993年提出新理论Vague集[1]以来,Vague集在处理不确定及模糊信息方面发挥了很大的作用．但与Zadeh提出的Fuzzy集[2]相比较有很大的优点．Fuzzy集是通过单一的(0,1)区间隶属函数的值来表示模糊性的,而Vague集是通过一个真隶属函数tA(x)支持度与一个假隶属函数fA(x)反对度在[0,1]上建立的一个子区间[tA(x),1-fA(x)]来表达模糊性的．Fuzzy集不能表达信息的支持与反对证据信息,但Fuzzy集处理信息的模糊外延相对较大,处理起来比较简单容易．虽然Vague集能表达信息的支持度与反对度，但它的外延相对较小,处理起来相对复杂一些．因此如何将Fuzzy值与Vague值之间相互转化成为讨论和研究的热点．目前李凡、范平、王鸿绪、徐凤生及黄志伟等[3-9]人进行了较多研究,但这些研究方法也存在一些不足与缺陷．对此,本文根据集对分析理论[10]SPA(sets pair analysis,简写SPA)中偏联系数[11]理论,提出了一种新的Vague值转化Fuzzy值的偏势转化方法．最后通过具体实例验证分析了该方法的可行性、合理性和有效性．并指出用集对分析联系数中的势对Vague值转化Fuzzy值是一种行之有效的方法．

1 相关概念

1.1 Fuzzy值

定义1[1]设A是Vague集，μA是给定论域U上的任意一映射,对任意的x∈U都对应一个μA(x)∈[0,1],则称μA(x)为Fuzzy集上的隶属函数,称μA(x)的值为μ对于A的隶属度值,也称此值为Fuzzy值．

1.2 Vague值

定义2[12]设x∈U,称闭区间[tA(x),1-fA(x)]为Vague集A在点x的Vague值，其中tA(x)是对象空间论域U上的一个Vague集A的真隶属函数,tA(x)表示支持x∈A的证据隶属度下界；fA(x)是一个Vague集A的假隶属函数,fA(x)表示反对x∈A的证据隶属度下界，且满足条件0≤tA(x)+fA(x)≤1．

定义3在Vague集A中,称πA(x)=1-tA(x)-fA(x)为x对于Vague集A的未确知度,又称为犹豫度或踌躇度．

在Vague集中:当tA(x)+fA(x)=1时,πA(x)=0,这时Vague集退化成Fuzzy集；当tA(x)=1,fA(x)=0,πA(x)=0,这时Vague集退化成经典的Cantor集．

因此,Fuzzy集是Vague集的一种特例．Cantor集是Fuzzy集的一种特例．即:Vague集是Fuzzy集与Cantor集的一般处理形式．

2 联系数及势

2.1 联系数

联系数[10]是赵克勤在1989年包头会议上提出的一种解决确定不确定问题的系统分析方法.它是通过对事物的同、异与反建立事物之间的联系及规律及联系数表达式u(w)=a+bi+cj来处理不确定性问题，其中规定a,b,c∈[0,1],a+b+c=1,j=-1．a称为同一度,b称为差异度,c称为对立度．i,j为差异度和对立度的系数．

定义4在Vague集A论域上有x=[tx,1-fx],y=[ty,1-fy] 2个Vague值,πx=1-tx-fx和πy=1-ty-fy,则x,y的Vague值的联系数定义[13-14]为:

u(x)=tx+πxi+fxj,u(y)=ty+πyi+fyj.

2.2 势

定义5在Vague值x=[tx,1-fx]中,其联系数u(x)=tx+πxi+fxj的势记为shi(x)=tx/fx．

定义6在联系数中,对shi(x)=tx/fx=1的势称为均势；shi(x)=tx/fx>1的势称为同势；shi(x)=tx/fx<1的势称为反势．

定义7Vague值联系数u(x)=tx+πxi+fxj中,记Δshi(x)=tx/(tx+fx)=1/(1+shi(x))为偏势．

在联系数u(x)=tx+πxi+fxj中,由于tx,fx,πx的值不同,势可以反映出联系数中同、异及反的联系趋势变化,可以分同势、均势和反势．即从可行性方面而言,同势在可行性中为可行方案；均势在可行性中为一般方案；反势在可行性中为不可行方案．这样通过势值把要解决的问题进行了一个简单的“聚类”．各势之间的具体含义见表1所示．

表1 tx,fx,πx与各势之间的含义及关系

从表1可以清楚地看到:势及偏势从另外一个角度反映了Vague值中的tx,fx,πx之间的发展趋势变化,偏势越小,说明πx趋向fx的程度越慢,Vague值转化为Fuzzy值的隶属程度就越大．相反偏势越大,πx趋向fx的程度越快,Vague值转化为Fuzzy值的隶属程度就越小．当偏势为0.5时,πx趋向fx的程度等同,Vague值转化为Fuzzy值的隶属程度等同,其隶属度为0.5．

3 Vague值转化Fuzzy值的本质及合理性准则分析

Vague值转化Fuzzy值的本质实际上是将Vague值中的未确知度πA(x)按照支持度tA(x)与反对度fA(x)的关系，将πA(x)按一定比例分配给支持度tA(x)与反对度fA(x)．即将πA(x)中趋向支持度的分量与Vague值中的支持度tA(x)相加得到一个新的支持度,转化为Fuzzy值的隶属度值．为了保证转化结果的合理与有效,要满足如下事实准则:

(1)在Vague值x=[tx,1-fx]中,当tA(x)=fA(x)时,势为均势．未确知度πA(x)分配给支持度tA(x)与反对度fA(x)的比例是均等的．这时转化后的Fuzzy集的隶属度值μA(x)=0.5．

(2)在Vague值x=[tx,1-fx]中,当tA(x)>fA(x)时,势为同势．未确知度πA(x)分配给支持度tA(x)的程度比反对度fA(x)的程度大．这时转化后的Fuzzy集的隶属度值μA(x)>tA(x)+πA(x)/2．

(3)在Vague值x=[tx,1-fx]中,当tA(x)

(4)在Vague值x=[0,1]中,πA(x)=1，势为全均势．则转化后的Fuzzy集的隶属度值μA(x)=0.5．

(5)在Vague值x=[1,0]中,tA(x)=1，势为全同势．则转化后的Fuzzy集的隶属度值μA(x)=1．

(6)在Vague值x=[0,0]中,fA(x)=1，势为全反势．则转化后的Fuzzy集的隶属度值μA(x)=0．

(7)转化后的μA(x)随tx成单调增函数,随fx成单调减函数．

4 Vague值转化Fuzzy值现有方法的不足及分析

4.1 均值法[3]

设Vague值x=[tx,1-fx],Vague值转化为Fuzzy值μ采用

(1)

这种转化方法简单地将未确知度πA(x)平均分配给支持度tA(x),很容易出现信息丢失．在反势或全反势的情况下,即偏势值为0或大于0.5时,这种转化是不可行的．转化结果是不合理的或错误的.这种转化不能刻画弃权者的趋向程度．在同势或全同势的情况下,这种转化是可行的．在均势或全均势的情况下,这种转化不能保证合理性或正确性．

4.2 比例法[3]

设Vague值x=[tx,1-fx],Vague值转化为Fuzzy值μ采用

(2)

这种转化方法看似合理,其实它将未确知度πA(x)全部分配给反对度fA(x),这不符合实际情况．在异反势或同异势的情况下,转化是不可行的．而且这种转化不能分辨tx=0或fx=0的情况．当tx=0时,不论fx的值是多少,μ(x)=0；当fx=0时,不论tx的值是多少,μ(x)=1；显然这种情况是错误的、不合理的,因此这样得到的结论不能保证其转化的合理性和有效性．

4.3 参数法[15]

设Vague值x=[tx,1-fx],Vague值转化为Fuzzy值μ采用如下参数的转化方法:

μ(x)=1-fx-απx，α∈[0,1],

(3)

μ(x)=tx+α(1-tx-βfx),α,β∈[0,1],

(4)

μ(x)=1-fx+β(1-αtx-fx),α,β∈[0,1].

(5)

这种转化比较合理,能满足转化的准则要求,但由于参数的不确定性不好控制和难以把握,从而不同的转化者往往得到的隶属度值有一定的差别而难以进行比较,并且带来很多不确定性因素．

4.4 分段法[16]

设Vague值x=[tx,1-fx],Vague值转化为Fuzzy值μ采用如下方法:

(6)

该转化方法看似很合理,但最大的缺陷是不一定能保证隶属度μ在区间[0,1]上,显然这违背了Fuzzy集的含义．比如Vague值x=[0,0.9],取tx=0,fx=0.1,πx=0.9代入式(6)中得到μ(x)=8.1．这显然是错误的、无效的和不合理的结果．

5 Vague值转化Fuzzy值的偏势方法及可行性分析

5.1 Vague值转化Fuzzy值的偏势方法

在分析了Vague值转化Fuzzy值的本质、转化准则及偏势的含义后,容易构造关于Vague值转化Fuzzy值的方法:对于任意V∈U上的一个论域Vague集的全体,对任意一个x的隶属度区间,x对于V的隶属度可以记为:

μA(x)=tx+πxΔshi(x).

(7)

当tA(x)=fA(x)时,Δshi(x)=0.5；当tA(x)>fA(x)时,Δshi(x)∈(0.5,1)；当tA(x)

容易验证式(7)满足事实准则1到准则7的要求,这保证该转化方法结果的合理性与有效性．

5.2 Vague值转化Fuzzy值的偏势方法的可行性分析

在Vague值转化Fuzzy值的过程中,为了保证转化结果的合理性、有效性和可行性,除满足准则1到准则7外,还要考虑可行性．

定义8[7]对于Vague值转化Fuzzy值的某些方法,若至少满足如下条件之一:

(1) 对任意α∈[0,1],若A(u)∈[0,α],u∈U,A∈V(U),有uA′(u)=0；

(2) 对任意α∈[0,1],若A(u)∈[α,1],u∈U,A∈V(U),有uA′(u)=1．

则称为不可分辩性.否则称为可分辨性．

虽然容易验证式(7)的转化方法中当tx,fx,πx={0,1}时具有不可分辨性,除此之外具有可分辨性．但当tx,fx,πx={0,1}时,从表2易得fuzzy集的隶属度是确定的．

表2 tx,fx,πx={0,1}与各势含义及Fuzzy隶属度值之间的关系

据此可知式(7)的转化方法虽然不具有可分辨性．但具有可行性．可行性是Vague值转化Fuzzy值结果有效的前提及保证．

综上所述可知:本文提出的Vague值转化Fuzzy值的偏势方法是合理的、有效的和可行的．

6 实例分析比较

为了验证本文转化方法的有效性、合理性和可行性,我们采用文献[7]的例子．计算结果如表3所示．

表3 本文转化方法与其他转化方法比较

由表3可知，本文提出的转化方法是行之有效的．

7 结语

本文通过对Vague值转化Fuzzy值的理论分析与比较研究,指出了现有的一些转化方法的不合理性、不可分辨性及不可行性等,并利用集对分析联系数中的偏势方法提出了一种Vague值转化Fuzzy值的偏势方法．该方法符合人们的实际判断准则和直觉要求,计算简单方便．

参考文献:

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