呙林兵 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

可对角化线性变换的几个特殊性质

呙林兵 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

对n维线性空间上可对角化的线性变换进行了研究，给出了其几个特殊的性质。

线性变换；对角化

定理1设V是n维线性空间，σ为V上的线性变换，若σ可对角化，且有循环向量，则σ有n个互不相同的特征值，设α1,α2,…,αn是它们的对应的特征向量，则α1+α2+…+αn是σ的循环向量。

先证σ有n个互不相同的特征值。假设σ有2个相同的特征值，不妨设λ1=λ2，则σ的最小多项式为:

m(λ)=(λ-λ2)(λ-λ3)…(λ-λn)=λn-1+an-2λn-2+…+a1λ+a0

即有:

σn-1+an-2σn-2+…+a1σ+σ0E=0

从而∀α∈V有:

m(σ)α=σn-1α+an-2σn-2α+…+a1σα+a0α=0

则α,σα,…,σn-1α线性相关，于是σ没有循环向量[1]，矛盾，因此σ必有n个互不相同的特征值。

设α1,α2,…,αn是λ1,λ2,…,λn,λi≠λj，i≠j的对应的特征向量，则σαi=λiαi，i=1,2,…,n，因不同特征值的特征向量线性无关，则α1,α2,…,αn形成V的一组基。

令α=α1+α2+…+αn，显然有：

σα=σ(α1+α2+…+αn)=λ1α1+λ2α2+…+λnαn

由于:

因λ1,λ2,…,λn互不相同，从而等式右边的n阶矩阵的行列式不为零，则α,σα,…,σn-1α线性无关[2]，从而形成的V一组基，故α=α1+α2+…+αn是循环向量。

定理2设V是n维线性空间，σ为V上的线性变换，且σ可对角化。若λ1,λ2,…,λs为σ的互不相同的特征值，记λi的特征子空间为Vi，ki=dimVi，则：

1)每个向量α可唯一的表示为α=β1+β2+…+βs,βi∈Vi。

2)向量α生成的循环子空间为β1,β2,…,βs在数域上生成的子空间。

3)向量α的最小零化多项式为mi(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)。

5)V=F[σ]α⊕…⊕F[σ]αr是V的循环分解。

2)若对某α个分解式中所有βi均不为0，因为βi分别属于不同的特征值，所以β1,β2,…,βs线性无关。又：

α=β1+β2+…+βs

有：

所以：

因为上式右边的矩阵行列式不为零，所以α,σα,…,σs-1α线性无关，是L(β1,β2,…,βs)的一组基。所以L(α,σα,…,σs-1α)=L(β1,β2,…,βs)。若分解中有某个βi=0，则记：

α=βi1+βi2+…+βik

亦类似可得：

L(α,σα,…,σik-1α)=L(β1,β2,…,βs)

4)取Vi的一组基βi1,βi2,…,βiki，则β11,β12,…,β1k1∈V1,β21,β22,…,β2k2∈V2,…,βs1,βs2,…,βsks∈Vs，是σ的n个线性无关的特征向量，构成V的一组基，记：

α1=β11+β21+…+βs1α2=β12+β22+…+βs2αt=β1t+β2t+…+βstr=max{ki}

5)由4)知所有βij构成的一组基，所以对∀α∈V，有：

又F[σ]αj∩F[σ]αm=0,(j≠m)，因此V=F[σ]α1⊕…⊕F[σ]αr。……