董李娜， 王 嫣

(1.河南教育学院数学系，河南郑州 450046；2.中州大学信息工程学院，河南郑州 450044)

关于Rayleigh商矩阵近似特征值估计

董李娜1*， 王 嫣2

(1.河南教育学院数学系，河南郑州 450046；2.中州大学信息工程学院，河南郑州 450044)

借助于谱分解定理以及矩阵理论中的特征值的排序、优于等相关性质定理研究Hermite矩阵近似特征向量与相应的Rayleigh商矩阵作为近似特征值之间的关系,进行特征值的扰动分析,并推广了一个应用广泛的结论.

Hermite矩阵; Rayleigh商矩阵; 近似特征值; 近似特征向量

Rayleigh商在计算特征值和特征向量中有着重要的应用[1-2],在利用计算机计算各类问题时,由于计算精度所引起的舍入误差、实验室设备在测量数据时所引起的观测误差、输入数据引起的误差等会影响计算解的准确性,导致通常矩阵的特征值难以直接求出.由于误差的存在,Rayleigh商是Hermite矩阵A的近似特征值,人们希望知道作为ρ(x)近似特征值的精确度,本文讨论了这个问题.文中使用符号规定：用Cm×n表示所有m×n复矩阵的集(m≥n)；CN=Cn×1；Ik表示k阶单位矩阵；‖·‖表示谱范数；A*表示矩阵A的共轭转置.

文献[2]、[3]曾研究过ρ(A)作为A的近似特征值的精确度与x作为A的近似特征向量的精确度的关系.

定理1[4]设x1是n阶Hermite矩阵A属于特征值1的特征向量.如果xCn,满足sinθ(R(x),R(x1))=Ο(ε),则ρ(x)-1=Ο(ε2).

文献[5]考虑上述问题的反问题,得到

定理2[5]设矩阵A的特征值为1≥2≥…≥n,对应的特征向量为u1,u2,…,un,令Uk=(u1,u2,…,uk),kCn×k,*kk=Ik.如果trace(k)≥1+2+…+k+ε2,那么

文献[6]中利用Rayleigh商研究了任意矩阵的奇异值.

易知,当A为Hermite半正定矩阵时,该定理就是定理1的推广.

下面例子说明定理1能推……