史良马

（巢湖学院电子工程与电气自动化学院，安徽 巢湖 238000）

Jacobi函数展开法与非线性Schrödinger方程的椭圆函数解

史良马

（巢湖学院电子工程与电气自动化学院，安徽 巢湖 238000）

利用三种基本椭圆函数来构成一般的椭圆函数，进一步推广了椭圆函数展开法并它应用于非线性Schrödinger方程的求解。由此得到了一系列的包络周期解。当模数m→0或m→1时，这些解退化为孤立波解和三角函数解。

Jacobi函数；Schrödinger方程；周期解

1 引言

非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的工作。在求解非线性发展方程的周期解方面，自从刘式适[1-4]等提出了Jacobi函数展开法之后，人们相继用Jacobi函数构造了各种展开法[5-7]，获得了一些非线性发展方程的周期性精确解。本文在此基础上提出更一般的椭圆函数展开法，我们用三种基本Jacobi函数组成一个新的函数形式，以此来构造非线性方程的解。通过这种方法可以得非线性方程丰富的周期性包络解。并以非线性Schrödinger方程的求解为例，说明这种方法。当模数m→0或m→1时，这些解退化为孤立波解、三角函数解。

2 构造一般Jacobi函数的展开法

对于给定非线性偏微分方程，为简单超见以含两个自变量为例，

P为其多变元的多项式，其中包含有非线性项和线性的高阶偏导数项。

其求解步骤如下：

（1）作行波变换

其中cg为群速。代入方程，将其化为常微分方程

（2）设 u（ξ）可展为 F 有限幂级数，

其中（i,j,k,l）为（0,1,2,3）的循环顺序，如当 i=0时,j,k,l分别为 3,0,1；当 i=1时，j,k,l分别为 2,3,0；当i=2时,j,k,l分别为3,0,1；当i=3时,j,k,l分别为0,1,2。

三种基本椭圆函数之间的关系：

由此可以得到下列恒等式：