王海莲 王良龙 谢如龙

（1安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230039）（2巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

齐次Morrey-Herz空间上的参数型Marcinkiewicz积分

王海莲1,2王良龙1谢如龙2

（1安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230039）（2巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

本文证明了参数型Marcinkiewicz积分是齐次 M orrey-Herz空间 M（Rn）上的有界性算子.

Morrey-Herz空间；参数型Marcinkiewicz积分；Lr-Dini条件

1 引言及主要结果

设Sn-1是Rn上的单位球面,dσ是Sn-1上的通常Lebesgue测度.Ω∈L1（Sn-1）是Rn上的零次齐次函数且满足

1960年，HO¨rmander在[1]中定义了高维的参数型Marcinkiewicz积分如下：

其中 ρ＞0 且

他证明了如果 Ω ∈Lipα（Sn-1）（0＜α≤1）,则对 ρ ＞0,是（p,p）（1＜p＜∞）型的.后来，Sakamoto 和 Y abuta[2]证明了的 Lp有界性，这里 ρ 是一个复数且 Ω ∈Lipα（Sn-1）（0＜α≤1） .近来，文献[3]减弱了 Ω 上 的光滑条件，得到了如下结果.

定理 A[3]设 Ω∈Lr（Sn-1）（r＞2）是 Rn上的零次齐次函数且满足（1）式和 Lr-Dini条件.若 ρ＞0,则存在仅依赖于ρ的常数C＞0,使得

陆善镇等在[4]中确立了粗糙奇异积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性.本文考虑了参数型Marcinkiewicz积分在齐次Morrey-Herz空间上的有界性.在给出主要结果之前，先介绍一些基本的概念和定义.

2 定理的证明

为了证明定理,先介绍下面引理.

[1]HO¨rmander L.Translation invariant operators[J].Acta Math,1960,104:93-139.

[2]Sakamoto M,Yabuta K.Boundedness of Marcinkiewicz functions[J].Studia Math,1999,135:103-142.

[3]程美芳,束立生.参数型Marcinkiewicz积分算子在Lp空间上的有界性[J].南京大学学报数学半年刊,2005,22(1):134-142.

[4]Lu Shanzhen,Xu Lifang.Boundedness of rough singular integral operators on the homogeneous Morrey-Herz spaces[J].Hokkaido Mathematic Journal,2005,34(2):299-314.

[5]Ding Yong,Lu Shanzhen,Xue Qingying.On Marcinkiwicz integral with homogeneous kernels[J].Journal of Mathematical Analysis and Application,2000,245:471-488.

[6]Muckenhoupt B,Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractional inte-grals[J].Trans.Amer.Math.Soc.J.,1971,161：249-261.

PARAMETRIC MARCINKIEWICZ INTEGRAL ON HOMOGENEOUS MORREY-HERZ SPACES

WANG Hai-lian1,2WANG Liang-long1XIE Ru-long2
（1 School of Mathematical Science,Anhui University,Hefei Anhui 230039）（2 Department of Mathematics,Chaohu University,Chaohu Anhui 238000）

In this paper,it is proved that the parametric Marcinkiewicz integralis bounded on homogeneous Morrey-Herz spaces.

Morrey-Herz spaces;parametric Marcinkiewicz integral;Lr-Dini condition

O174.2

A

1672-2868（2012）03-0004-06

2012-03-16

安徽省高校自然科学基金项目(项目编号：KJ2009A49；KJ2012B116)；巢湖学院教研项目（项目编号：Jyxm201127)

王海莲（1981-），女，安徽定远人。安徽大学硕士研究生，研究方向：泛函微分方程与动力系统。

责任编辑：陈 侃