廖为鲲，吴申华

（1.泰州职业技术学院基础科学部，江苏泰州225300；

2.兴化市昌荣初级中学，江苏兴化225700）

平面方程有点法式、一般式、截距式等几种类型，在求平面方程过程中，主要求点法式方程和一般式方程，本文将介绍向量积在求平面方程中的应用，以及如何用待定系数法求平面方程。

1 用向量积求平面点法式方程

平面点法式方程的一般形式为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中{A,B,C}为法向量，即垂直于平面的任一非零向量；(x0,y0,z0)为平面上的一个点的坐标[1]。从平面的点法式方程中可以看出，求平面的点法式方程关键要求得平面的法向量和平面上一个点坐标，由于平面上点的坐标比较容易获得，所以求平面的点法式方程可以归结为求平面的法向量。因为向量a軆和向量 軋b的向量积a軆× b軋既垂直于向量a軆又垂直于向量軋b，若向量a軆和向量軋b为平面上或平行于平面的两个不共线向量，根据立体几何知识得到，向量积a軆× 軋b垂直于该平面，因此a軆× 軋b为该平面的法向量。于是，求平面法向量的方法：找两个在平面上或平行于平面的不共线向量，它们的向量积即为法向量。

例1设平面π过点P(1,0,2)，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3，求此平面方程。

分析：因为平面π在x轴和y轴上的截距分别为2和3，所以平面与x轴和y轴的交点分别为M(2,0,0)和N(0,3,0)，显然它们在平面π内，则向量}和}也都在平面π内，且它们不共线，所以平面π法向量为

所以平面的点法式方程为-6(x-1)+4(y-0)+3(z-2)=0，即 -6x+4y+3z=0。

例2设平面π垂直于平面π1∶5x-y+3z-2=0且与它的交线在平面yoz上，求此平面方程。

分析：因为平面π1的法向量軋n垂直于交线，又交线在平面yoz上，则基本单位向量也 垂直于交线，所以交线平行于故軆i也平行于平面π；由于平面π垂直于平面π1，则平面π1的法向量平行于平面π，且不共线，根据上述方法，则平面π的法向量为

因为平面π和平面π1的交线在平面yoz上，所以它们的交线也是平面π1与平面yoz的交线，则交线方程为，设z=0，得交线上的一点为(0,-2,0)，也是平面π上的一点，所以平面的点法式方程为10(x-0)+5(y+2)-15(z-0)=0即2x+y-3z+2=0。

同样，根据上述方法，求出以下几种情况平面的法向量：

（2）平面π经过或平行两条相交或异面直线L1,L2，则平面π的法向量为其中分别为直线L1,L2的方向向量；

（3）平面π过直线L及L外一点M0，则平面π的法向量为，其中軆l分别为直线L的方向向量，M1为直线L上的一点；

（4） 平面π过两点 M1,M2，且垂直于平面π1，则平面π的法向量为其中为平面π1的法向量。

2 利用待定系数法求平面方程

当平面是一些特殊平面，例如经过坐标轴或者平行于坐标面时，通常用待定系数法求平面的一般式方程。待定系数法为：根据平面的特征设平面方程，利用已知条件列出关于待定系数的方程组，解方程组求待定系数，从而求出平面方程。

下面列出当平面一般式方程某些系数为零时，平面方程具有的特征：

平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0[2]。

若D=0，平面方程为Ax+By+Cz=0，显然，平面经过原点(0,0,0)；

若A=0，平面方程为By+Cz+D=0，平面的法向量{0,B,C}，显然，与基本单位向量={1,0,0}数量积为零，则平面的法向量和基本单位向量軆i垂直，所以平面平行于x轴；

利用上述两个结论可以得到以下几个事实：

若A=0，D=0，平面方程为By+Cz=0，A=0，平面平行于x轴；D=0，平面经过原点；所以A=0和D=0，则平面既平行于x轴又经过原点，故平面经过x轴；

若A=0，B=0，平面方程为Cz+D=0，A=0，平面平行于x轴；B=0，平面平行于y轴；所以A=0和B=0，则平面既平行于x轴又平行于y轴，故平面平行于xoy坐标面；

若A=0，B=0，D=0，平面方程为z=0，故平面为xoy坐标面。

例求过点(2,1,3)和x轴的平面方程。

解：因为平面经过x轴，所以设平面方程为By+Cz=0，又因为平面经过点(2,1,3)，所以B+3C=0，即B=-3C，则-3Cy+Cz=0，所以平面方程为3y-z=0。

注：待定系数法一般用于求特殊的平面方程。

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2]许艾珍.高等数学应用教程[M].北京:航空工业出版社,2010．