钱季伟

（长江工程职业技术学院，武汉 430212）

在中学数学中，用内角的相等或边长的成比例来定义三角形或多边形的相似，显然这种方法不能推广到曲线（形）上来，因此必须挖掘相似性的更本质的内涵，使之可以在更广泛的场合下应用于相似问题的讨论。

1 若干定义

（1）位似变换。取定平面上一点O，称为位似中心，规定点O在位似变换下的象即自己；平面上其他的点p在变换下的象p＇满足：p＇在直线op上，＝k（≠0.1），k称为位似比，p称为p＇的原象。显然象与原象的概念是对称的，若以p＇为原象，点p为象，则位似比

在直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似变换可表示为：

图1

（2）对平面上任意曲线F上所有的点作位似变换，所有的点的象组成曲线F＇，则称F＇与线F是位似曲线。

（3）对于曲线G与G＇，若能通过平面上的等距（平移、旋转与反射）变换，使之成为位似曲线，则称G与G＇为相似曲线。

由以上定义可知：两曲线是相似的，必须且只须它们是位似的；曲线的位似是曲线相似的本质的表示形式，因此位似比也可称为相似比。

2 引 理

以坐标原点O为位似中心，k为位似比，若曲线C1的方程为Φ（x，y）＝0，则曲线C2是C1的位似曲线的充分必要条件是：它的方程是（考虑到几何图形的清晰性，规定曲线与以位似中心为始点的射线最多相交于一点。）

证：对C1上所有的点P（x，y），作变换（1），即以代入 Φ（x，y）＝0，得到曲线Φ该曲线上的点P＇（x＇，y＇）是C1上的点P 的象，且，所以是C1的位似比为k的位似曲线。再把x＇，y＇改写为x，y，就得到位似曲线的方程：

由此可知，具有方程（2）的曲线C2确是C1的位似曲线，这就证明了条件的充分性；……