孙 洋 辛爱学 贺 琦

（海军704厂 青岛 266109）

1 引言

小波分析（Wavelet Analysis）已广泛应用于弱信号检测、特征提取、数据压缩、语音合成、图像识别等领域，并发挥了显著作用。在信号处理方面，主要体现在利用多尺度分析的方法，对信号进行分解、重构和滤波［1～4］。

多尺度分析 （Multi－resolution Analysis）是 Mallat于1989年提出的，Mallat首先研究了在2j尺度下函数的逼近算子及其数学性质。然后证明了在2j－1与2j尺度下的信息差别，可以通过函数在一小波正交基上分解而获得。从而定义了一种完全正交的多尺度描述，即小波描述，有力地解决了细节相关性问题。下面给出多尺度分析的具体过程。

空间L2（R）中的一列闭子空间｛Vj｝j∈Z称为L2（R）的一个多尺度分析（MRA），满足下列条件：

1）单调性：…Vj－1⊂Vj⊂Vj＋1⊂…，∀j∈Z；

3）伸缩性：f（t）∈Vj⇔f（2t）∈Vj＋1，∀j∈Z；

4）平移不变性：f（t）∈V0⇔f（t－k）∈V0，∀k∈Z；

5）Riesz基存在性：存在φ（t）∈V0，使得对任意m∈Z，｛φm，n（t）：φm，n（t）＝2－m／2φm，n（2－mt－n），n∈Z｝构成的Vm标准正交基。

若存在φ（t）∈V0，使得对任意 m∈Z，｛φm，n（t）：φm，n（t）＝2－m／2φm，n（2－mt－n），n∈Z｝构成的Vm标准正交基。则多尺度分析由函数φ（t）（称为尺度函数）唯一确定，它是在V空间定义的，若记Wm为Vm在Vm－1中的正交补，则应满足下列关系：

可以得出：

而且，可以证明：存在积分为零的函数ψ∈W0，使得对任意m，｛ψm，n（t）：ψm，n（t）＝2－m／2ψm，n（2－mt－n），n∈Z｝构成W 的标准正交基，即正交小波基。

将一给定信号f（t）在V空间和W 空间同时分解，满足完备性。在空间V分解得到信号的平滑信息，在W 空间分解得到信号的细节信息。这就是在L2（R）空间通过正交分解和不断变换空间尺度来逼近一个函数和信号的基本过程和实质所在。

Mallat算法信号［5］分解及合成的过程可直观地如图1所示。

图1 Mallat小波分解与重构示意图

图1中c0、c1、c2、c3等为不同尺度下的平滑信息，d1、d2、d3等则代表各尺度下的细节信息。……