劳毅慧

(广西民族师范学院 数学与计算机科学系，广西 崇左 532200)

在《高等代数与解析几何》教学中有这么一个题目［1］:

(1)设 α1，α2，…，αm;β1，β2，…，βm是 n维欧式空间 V 的两个规范正交组，证明:存在正交变换 σ，使σ(αi)= βi(i=1，2，…，m);

(2)若 α1，α2，…，αn与 β1，β2，…，βn是 V 的两个规范正交基，正交变换 σ，使 σ(α1)= β1，证明:L(σ(α2)，σ(α3)，…，σ(αn))=L(β2，β3，βn)。

文章将要对(1)证明的同时也做一个推广，并对(2)给出两种证明方法。

在推广和证明过程中将要用到下面的来自参考文献［1］的知识。

若 n 维欧式空间 V 中有一组非零向量 α1，α2，…，αn，有等式，则 α1，α2，…，αn就是V的一组规范正交基。因为欧式空间V中的一个正交组一定线性无关，所以n维欧式空间V两两正交的非零向量不能多于n个。

引理: 设V是数域F上的一个n维线性空间，α1，α2，…，αn是V的一个基，那么对于V中的任意n个向量 β1，β2，…，βn，恰有 V 的一个线性变换 σ，使 σ(αi)= βi(i=1，2，…，n)。

习题结论:设α1，α2，…，αn是n维欧式空间V的n个向量，行列式G(α1，α2，…，αn)= │A│称为向量组α1，α2，…，αn的格拉姆行列式，其中 A=(＜ αi，αj＞ )n×n。则 G(α1，α2，…，αn)=0 的充分必要条件是 α1，α2，…，αn线性相关。

定理1: 设σ是n维欧式空间V的一个线性变换，则σ是正交变换的充分必要条件是σ把V的一个规范正交基变成V的另一组规范正交基。

定理2: 令W1是欧式空间V的一个有限维子空间，那么V=W1⊕W2，其中W2是W1的正交补，并且这种分解是唯一的。

现在我们来证明上面的问题:(1)将所给的这两组规范正交组扩充为n维欧式空间V的规范正交基α1，α2，…，αn;β1，β2，…，βn。由于α1，α2，…，αn是V的一个基，所以由上面的引理知，存在唯一的线性变换σ，使得σ(αi)=βi(i=1，2，…，n);而线性变换σ是从一个规范基到另一个规范正交基的线性变换，所以σ是一个正交变换。

这个问题可以这么推广:设 α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm为n维欧式空间V的两个向量组，证明:存在一个正交变换 σ，使得 σ(αi)= βi(i=1，2，…，m)的充分必要条件是 ＜ αi，αj＞ = ＜ βi，βj＞。……