范乐乐

(河池学院 数学系，广西 宜州 546300)

0 引言

考虑一类变系数常微分方程的两点边值问题:

其中 p(x)、q(x)＞ 0，且都在［a，b］上连续，f(x)为已知函数，α、β为常数。

对于该类常微分方程的边值问题，已有一些文献给出了它的各种数值解法。文献［1］、［2］中，使用了三次样条插值的方法获得了该问题的近似解;对p(x)=0的情形，文献［3］给出了该问题的一种三点差分格式;当p(x)为连续函数时，文献［4］同样提出了一种三点差分格式，但并未对其做详细研究。在此基础上，本文将证明该格式是无条件收敛和稳定的，且收敛阶和误差阶为O(h2)。

1 差分格式的建立

步长，xi为结点，Ωh为网格。

现在结点处考虑定解问题(1)，有

令Ui=u(xi)，则由泰勒展式，有

将以上两式代入(2)中，有

略去小量项，并用ui代替Ui，得到差分格式［4］

显然，该格式的截断误差

2 差分格式的求解

不妨令 pi=p(xi)，qi=q(xi)，fi=f(xi)。

(4)式经整理，得

可用矩阵形式表示为

3 差分格式的先验估计式

定理1: 设u={ui|0≤i≤m}为如下差分格式

证明:

因为pi＞0，则当h充分小时，所以

又因为q(x)＞0在区间［a，b］上连续，则有C1≤q(x)≤C2，其中C1、C2分别为最小值和最大值，所以2+qih2≥ 2+C1h2。因此，

进一步有

4 解的存在唯一性、收敛性和稳定性

定理2:(存在唯一性)差分格式(4)存在唯一解。

证明:

考虑差分格式(4)对应的齐线性方程组

由定理1可知，‖u‖∞=0，推出u0=u1=…um=0，所以原方程组(4)具有唯一解。

定理3:(收敛性)设{u(xi)}为定解问题(2)的精确解，{ui}为差分格式(4)的解，并设ei=u(xi)－ui，0≤ i≤m，则有

证明:

将(3)式与(4)式相减，得到误差方程

应用定理1，则有

下面分析差分格式的稳定性。

若在计算函数值fi时产生误差gi=g(xi)，设ν={νi}mi=0为

的解。记εi=νi－ui，将(6)式与(4)式相减，得到摄动方程……