钟 华

(河池学院 数学系，广西 宜州 546300)

0 引言

考虑如下两点边值问题:

其中 p(x)＞ 0，q(x)≥0，p'(x)，q(x)且在［0，1］上连续，f(x)为已知函数。

以变分原理为基础的有限元方法广泛应用于微分方程的数值求解中。在应用有限元方法时，有限元空间及其基函数选取的好坏，直接影响到数值解的精度和计算的复杂度。对于问题(1)，文献［1］、［2］都详细介绍了它的有限元数值解法，但由于选取的有限元空间只是一些分段线性函数的集合，有限元解仅连续;文献［3］中，作者利用三次样条有限元方法获得了该问题的近似解，且采用B样条作为有限元空间的基底。采用与［3］类似的方法，本文将讨论该问题的二次样条有限元数值解法，同样采用具有各种良好性质的二次B样条作为基函数，这样既可以获得具有一阶光滑度的近似解，还可以简化计算过程，最后结合实例对该方法进行进一步说明。

1 B样条函数

设m为自然数，定义m阶B样条Bm(x)［4］:

由定义，可推导出Bm(x)具有如下性质:

①Bm(x)是一个分段m－1次多项式，且Bm(x)∈Cm－2(－∞，+∞);

③Supp Bm(x)=［0，m］，且Bm(x)≥0;

它们分别称为分段光滑性、对称性、局部支集性、递推性。当然，B样条函数还有其他一些性质，在此不作介绍。

根据定义和递推关系式，且经变量变换后，可得到如下二次B样条表达式:

2 有限元解法

首先对区间［0，1］进行均匀剖分，网格节点为0=x0＜x1＜…… ＜xn=1，相邻节点间的间距为h=1/n，并令 ei=［xi－1，xi］。定义如下［0，1］上的二次样条空间 V:={ν(x)│ν(x)在 ei上是二次多项式，在［0，1］上一阶光滑，且满足 v(0)=v(1)=0}。

显然，V的维数

令

定理1: 对于空间V，{φi(x)}n－1i=0为它的一组基底。

证明:设 c0φ0(x)+c1φ1(x)+ … +cn－2φn－2(x)+cn－1φn－1(x)=0，

将φi(x)的表达式代入上式，有

定义双线性泛函