刘清华，余 启，张 昱

（南华大学 数理学院，湖南 衡阳 421001）

1 定 义

Schur凸函数的概念由I.Schur于1923年引入，它不仅在建立解析不等式方面发挥着极大的作用，而且在统计学，经济学以及其它方面也有着许多重要的应用（详见Marshall和Olkin的专著［1－2］）。下面的定义可参见文献［2－5］。

对于向量x＝ （x1，x2，…，xn），把其分量排成递减次序后记为：x［1］≥x［2］≥ … ≥x［n］。

则称x被y所控制（记为x≺y）。

定义1.2 定义在集合Ω⊂Rn上的实函数φ称为Ω上的Schur凸函数，如果

在Ω上x≺y⇒φ（x）≤φ（y）。

如果对于任意的x≺y且x不是y的一个重排，有φ（x）＜φ（y），则称φ为Ω上的严格Schur凸函数。φ在Ω上为Schur凹（严格Schur凹）的，当且仅当－φ在Ω上是Schur凸（严格Schur凸）的。

判断函数f（x）为Schur凸函数，有下面的Schur条件。

定理1.3 设Ω⊂Rn是非空的对称凸集，函数f：Ω→R在Ω上连续且在Ω的内部Ω0可微，则f为Ω上的Schur凸函数当且仅当f为Ω上的对称函数，且对于所有x∈Ω0，

如果不等式（1.1）对于xi≠xj（1≤i，j≤n）是严格的，那么f为严格Schur凸的。

由于f（x）是对称的，则Schur条件（1.1）可简化为［2］

如果（1.2）对于x1≠x2是严格的，那么f为严格Schur凸的。如果不等式（1.1）或（1.2）反向，那么f为Schur凹的。

则称x被y对数控制，记为lnx≺lny.

定义1.5 设I是 （0，∞）的子区间［7］，函数f：In→ （0，∞）称为Schur几何凸的，如果在In上lnx≺lny⇒f（x）≤f（y）；函数f称为Schur几何凹的，如果In上lnx≺lny⇒f（x）≥f（y）.

定理1.6 设f（x）＝f（x1，x2...xn）为对称的［7］，且在In上有连续偏导数，那么f：In→ （0，＋∞）为Schur几何凸函数当且仅当

如果不等式（1.5）反号，则f为Schur几何凹的Marshall和Olkin在文献［2］中研究了函数

的Schur凸性问题，这里0＜x1＜1，i＝1，2，...n.

本文研究Ψ（x）的对偶形式：

其中，0＜x1＜1，i＝1，2，...n. 我们将讨论此函数的Schur凸性和Schur几何凸性问题，并利用“优化理论”建立一些解析不等式。

2 Ψk，n（x）的 Schur凸性

为此，我们分两种情形进行讨论。

情形1. 当k＝2时，直接计算可得

取对数并求导，可得

于是，当x1≠x2时，我们有

情形2. 当3≤k≤n－1时 ，我们不难得到