陆伟锋，唐厚兴

0 引言

多属性决策问题的决策理论与方法目前已成为决策科学、系统工程等领域的热点。在这些决策方法中，TOPSIS方法因为简单、直观，是人们最常使用的多目标评价方法之一。然而普通的TOPSIS方法存在许多缺陷，尤其是在贴近度计算公式上，如胡永宏(2002)就指出TOPSIS法中如果存在一些特殊样本点时，将可能导致排序不合理的情况，并通过引入一个虚拟最劣点来进行改进贴近度计算公式[1]。邱根胜、邹水木、刘日华（2005）指出传统TOPSIS法的贴近度计算公式存在问题，导致出现排序错误，基于靠近理想点和远离负理想点这两个基准,他们定义了一种新的相对贴近度的计算公式来解决这个问题[2]。而付巧峰(2008)提出用多目标规划来确定权重，简化了正负理想方案的计算,提出了一种更易计算的与原 TOPSIS法相对接近度等价的新的相对接近度[3]。陈伟（2005）也指出传统的TOPSIS法在实际应用中容易产生逆序的现象，分析了逆序产生的主要原因,并提出了一种改进的方法。不仅能消除逆序的现象,而且还能正确反映指标权重对决策结果的影响[4]。

从已研究的内容可以看出，对传统TOPSIS法的改进，主要集中在三个方面：一是正负理想点的改进；二是指标权重的确定；三是贴近度计算公式的确定。但是很少有学者从这三个方面进行综合的改进，据此，本文将首先分析TOPSIS法的各种缺陷，并给出相应的改进措施；其次给出改进后的一般决策过程；最后通过一个示例比较改进后的方法是否有效。

1 TOPSIS法存在的问题及其改进

1.1 TOPSIS法的一般求解步骤

用理想解求解多属性决策问题的概念简单，它借助多属性问题中的理想解和和负理想解来给方案排序。其基本步骤如下：

(1)用向量规范化的方法求得规范决策矩阵。设多属性决策问题的决策矩阵A={aij},规范化决策矩阵R={rij},则有

(2)构成加权规范矩阵X={xij}。假设属性权重已有决策者给出ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，则

(3)确定正理想解x*和负理想解x0。设正理想解x*的第 j个属性值为x*j，负理想解x0第j个属性值为x0j，则有

(4)计算各方案到理想解与负理想解的距离。备选方案xi到正理想解的距离为:

备选方案xi到负理想解的距离为:

(5)计算各方案的综合评价指数

(6)按照C*i的值由大到小排列方案的优劣次序。

1.2 TOPSIS存在的问题及其改进方法

尽管TOPSIS法比一般加权求和法更具合理性，但自身也存在一些不足，主要表现在出现逆序和无法绝对排序以及权重的设定不合理等方面。

（1）正负理想点的不合理选择导致的逆序问题及其解决

图1

在图1中，x*和x0分别是正负理想点，x1和x2相比，由于两者与正负理想点的距离相同，因此方案1和2的相对优劣性应该相同。但是按照公式(1)、(2)对正负理想点的选择来看，如果此时增加了一个新的备选方案，导致负理想点移动到A点，很明显此时x2≻x1，相反如果负理想点移动到B点，则有x2≺x1。这必然将导致评价结果的不稳定性，即会出现逆序问题。究其原因是正、负理想点的选择是相对的，而非绝对的。如果能够将正负理想点固定，则将能消除逆序问题。我们通过如下公式对属性值进行规范化处理：

通过这样的处理后，rij∈[0,1]，且其值越大越好，因此绝对正负理想解即为x*=[1,1,…,1]Tn，x0=(0,0,…,0)Tn。由此我们可发现，不管其他方案的增减，方案x1,和x2的正负距离是保持不变的，因此综合评价指数也是不变，从而保证评价的稳定性。

（2）权重的设定不合理及其解决

一种情形是由于在原始数据上人为地乘上权系数,从而改变了原决策数据间的关系结构,而使排序结果产生逆序。还有学者认为TOPSIS方法的权重是决策者已经设定的，主观性强而缺乏客观性，导致评价结果不可靠。从几何角度出发，对属性权重未给定情形下的多属性决策问题，本文采用如下方式确定权重。

将m个备选方案在第j个属性下的值看成一个向量

则该属性的权重为

（3）相对距离的度量不当导致的逆序问题及其解决；

图2

图2 中，x0是负理想解，x*是正理想解，x1,x2是备选方案。备选方案与正负理想解的距离分别是d*1,d01；d*2,d02。直线AE是正负理想点连线的垂线，h1,h2分别是H点到正负理想点的距离。按照逼近理想点方法的思想，无论直线AE如何沿着正负理想解连线移动（x1,x2的在直线AE上的相对位置不变），因为d*1＞d*2，所以总有x1≺x2。然而文献[1]已经证明，根据式(3)，C*1,C*2的大小取决于h1,h2的长度比，即当h2＜h1时,x1≻x2；而当h2＞h1，x1≺x2；当h2=h1，x1～x2。这说明方案的排序存在逆序问题。

根据公式(3)有

则有

我们发现如果备选方案x1,x2样本点落在正负理想解的连线上，那么如果d*1＞d*2，则必有d01＜d02，此时d*1d01＞d*2d02，即C*1＜C*2，所以x1≺x2。反之依然。只要保证x1,x2相对位置不变，则不论如何移动，结果都是一致的。在这种情形下，图示法和利用公式(3)计算的结果是一致的。由此对比分析发现，普通TOPSIS方法利用式(3)计算综合评价指数是有局限性的。本文将利用投影方法对贴近度公式进行改进。

正负理想点已经固定为x*=[1,1,…,1]Tn，x0=(0,0,…,0)Tn，从几何的视角看，正负理想点的连线实际上就是正理想点向量，本文称之为参照向量。每个备选方案也可以看成是空间的一个向量，如果每个待选向量与参照向量越接近，则该待选方案是最好的。待选方案向量的模可以衡量与负理想点的距离，待选方案向量与参照向量所形成的夹角可以衡量与正理想点的距离，因此通过把模的大小与夹角余弦值结合起来考虑全面反映了向量之间的接近程度，故可以采用如下投影方法：

设α=（α1，α2，…，αn）和β=(β1,β2,…,βn)是两个向量，则向量夹角余弦为：

则有

为α在β上的投影。一般的，Pr jβ(α)越大，表示向量α和β越接近。令

显然，Pr jx*(xi)越大，表明方案xi越贴近正理想点且远离负理想点，方案xi越优。

3 改进的决策方法计算步骤

设对于某一多属性决策问题，属性权重信息已知，ω=(ω1,ω2,…,ωn) ωj≥0,。 属 性 集 为U={u1,u2,…,un}，方案集为X={x1,x2,…,xm}，决策矩阵为A=(aij)m×n。A经过规范化处理后，得到规范化矩阵

(1)对属性进行规范化处理

(2)构建加权规范矩阵Y={yij}

(3)确定正负理想点

(4)计算各方案与正理想点的投影

(5)按照投影值Pr jy*(yi)(i∈M)大小对方案集 X={x1,x2,…,xm}进行排序。

4 示例分析

我们通过构造一个示例，对本文所述方法进行比较分析。其中指标好转率、床位周转次数和平均病床工作日属于效益型指标，平均费用属于成本型指标，假定各属性权重相等为0.25。如下表1所示，我们所要确定的是哪个年度医院的效益最好。

在表1中，1997*表示增加了一年的样本数据，即相当于增加了一个备选方案。两种数据集分别成为数据集1（D1）和数据集2（D2）我们分别采用改进前和改进后的TOPSIS法来比较分析，当决策备选方法出现变动的时候对决策结果产生的影响，即决策方法是否具有较好的稳定性和一致性。计算结果如下。

改进前TOPSIS计算结果：

D1：方案综合属性值为[0.6938,0.7344,0.5155,0.2324,0.8919,0.8323,0.7697];方案排序：

D2：方案综合属性值[0.9326,0.9197,0.8879,0.8890,0.9690,0.9527,0.9320,0.1053];方案排序：

表1 某院1990～1996年几项医院工作质量指标情况

对不同的两个年份而言，不管备选方案怎么变化，它们的相对优劣顺序不应该变化。而由该结果发现此方法存在逆序。

改进后的TOPSIS计算结果：

D1：方案综合属性值 [0.4582,0.4625,0.4300,0.4327,0.4917,0.4749,0.4691];方案排序：

D2：方案综合属性值[0.4582,0.4625,0.4300,0.4327,0.4917,0.4749,0.4691,0.3917];方案排序：

该结果没有出现逆序现象。由此可见，改进后的方法比原有方法更有效，可以消除逆序现象，使得评价方法更客观、更具有一致性和稳定性。

5 结论

在多属性决策中，TOPSIS法是最简单、直接，也是应用非常广的一种方法，然而其本身存在一定的缺陷。本文提出从规范化数据矩阵、确定绝对正负理想点、求解客观权重、利用投影设定新的贴近度公式四个方面改进TOPSIS方法，并通过示例表明该改进方法比传统方法具有决策稳定性、一致性的优点。

[1]胡永宏.对TOPSIS法用于综合评价的改进[J].数学的理论与实践，2002,32(4).

[2]邱根胜，邹水木，刘日华.多指标决策TOPSIS法的一种改进[J].南昌航空工业学院学报(自然科学版)，2005,19(3).

[3]付巧峰.关于TOPSIS法的研究[J].西安科技大学学报,2008,28(1).

[4]陈伟.关于TOPSIS法应用中的逆序问题及消除的方法[J].运筹与管理，2005,14(3).