徐 宝，姜玉秋，滕 飞

1 预备知识

产品可靠性是产品寿命指标的总称，它反映一个产品在规定时间和规定条件下完成规定功能的能力。在现代实际生产中，随着科学技术的发展，许多产品都要求有很高的可靠性指标，产品的可靠性越来越受到人们的重视。因此，必须对产品进行可靠性测试，以此来弄清楚被试产品的寿命、求出各项可靠性指标以及研究产品的失效机理，从而为提高产品的可靠性提出建议。如果对产品的测试手段是成败型试验(如脉冲、振荡等冲击试验)，那么该产品的寿命是以成败次数来衡量的。在测试产品寿命的研究中Pascal分布起着重要的作用，因此对Pascal分布的可靠性分析具有理论价值和实际应用价值。在贝努里试验中，设每次试验成功的概率为θ(也称其为可靠度)，失败的概率为1-θ，试验进行到r次失败为止，那么所需要的试验总次数X为服从参数为r, θ的 Pascal分布的随机变量，其分布律为：

其中，θ为产品的可靠度函数，简称可靠度， 0＜θ＜1；x=r,r+1,r+2,…。在对产品可靠性测试数据进行统计分析时，对产品失效个数大于2个的情形，已经有许多成熟的统计方法对其进行处理，但在现代生产中，产品可靠性的逐渐提高，产品失效机理也受到某些限制，从而导致试验截止时无产品失效或只有一个产品失效(即单失效)的现象经常在小样本的试验中出现.对无失效数据的统计分析，一些学者已经进行了广泛的研究[1～3]，得到了许多理论与方法，但对单失效数据进行研究的统计文献却并不多见。本文将在Bayes框架下，用参数估计方法研究单失效数据情形出现时寿命产品可靠度的估计问题。

单失效数据模型[4]具体描述如下：假设对某寿命产品进行定时截尾试验，试验样品个数为n，测试时间分别为0＜t1＜t2＜…＜tk，如果在整个试验过程中只有一个样品在区间(tm-1,tm)内失效(这里1≤m≤k)，而其它样品均未发生失效，那么就可以得到单失效数据模型：(si,ri,ti)，这里si和ri是ti时刻样品的参试个数和失效个数，易知当i≤m-1时有ri=0，当i＞m-1时有ri=1，并且s1＞s2＞…＞sk.

统计推断中的参数估计问题，一般都是在给定损失函数下进行的.对寿命服从Pascal分布的产品的可靠度，一些学者在平方损失函数、熵损失函数以及LINEX损失函数等损失函数下对其Bayes估计问题进行了深入的研究.本文将使用加权p,q对称熵损失函数[5]

研究单失效数据情形出现时寿命产品可靠度的Bayes估计问题.这里δ是待估参数θ的估计量。

2 单失效数据情形下寿命产品可靠度的Bayes估计

这一部分在Bayes框架下，利用损失函数(2)来研究单失效数据情形下Pascal分布(1)的可靠度θ的估计，其中包括Bayes估计、多层Bayes估计以及E-Bayes估计，分别由下面定理给出。

定理1令随机变量X服从Pascal分布(1)，在损失函数(2)下，对任何先验分布，单失效数据情形下可靠度θ的Bayes估计为

证明：令δ(X)为单失效数据情形下可靠度θ的任一估计量，在损失函数(2)下，有δ(X)对应的Bayes风险：上式左端E表示关于θ与样本x的联合分布取期望。要想得到θ的Bayes解，只须关于δ极小化 E(θppδp(X)+δq(X)/qθq-2|X)即可，容易知道是其唯一最小值点，从而得到θ的Bayes估计为

下面考虑在给定先验分布π1(θ)后，单失效数据下可靠度θ的Bayes估计的精确形式及其性质。

定理2若可靠度θ的先验分布π1(θ)为贝塔分布，(其中a＞0, b＞0为超参数，B(a,b)=∫01ta-1(1-t)b-1d t为Beta函数)，则在单失效数据情形下，可靠度θ基于损失函数(2)的Bayes估计为：

并且是θ的可容许估计。

证明：在单失效数据情形下，可靠度θ的似然函数为L(θ|x)=θx-1(1-θ)，于是θ的后验分布密度为：

由于可靠度θ的Bayes估计的精确形式中含有贝塔先验分布中的超参数a和b，若对超参数再给出一个先验，称之为超先验，由先验和超先验决定的一个新先验就称为多层先验。本文应用文[6]的结果，取超参数a的先验π2(a)为U(1,c)，其中2≤c≤6，超参数b的先验π2(b)为U(0,1)，并假设两个超参数a和b独立，则θ的多层先验密度为：

定理3在多层先验密度(3.1)下，单失效数据下可靠度θ的多层Bayes估计为：

证明：易知θ的后验密度为：

于是

从而在损失函数(2)下，单失效数据下可靠度θ的多层Bayes估计为:

可靠度θ的多层Bayes估计是对先验分布中的参数给出超先验分布后得到的多层先验分布下计算出来。对于先验分布中的参数，一些文献也把它看成是可靠度θ的Bayes估计中的参数，给定它们的先验分布后，可以对可靠度θ的Bayes估计计算在该先验分布下的数学期望，即可靠度θ的E-Bayes(expected Bayes estimation)估计[7]。下面研究在损失函数(2)下，单失效数据下可靠度θ的E-Bayes估计。

定理4若可靠度θ的贝塔先验密度Beta(a, b)中的超参数a和b的先验分别为U(1,c)(其中c是常数)和U(0,1)，并且a和b独立，则单失效数据下可靠度θ的E-Bayes估计为：

证明：由于超参数a的先验π2(a)为U(1,c)，超参数b的先验π2(b)为U(0,1)，由a和b独立，从而有a和b的联合先验密度，其定义区域为D=(1,c)×(0,1)。由定理2知单失效数据下可靠度θ在贝塔分布Beta(a, b)下基于损失函数(1.2)的Bayes估计为：

于是可靠度θ的E-Bayes估计为：

3 结束语

本文基于Pascal分布在加权p,q对称熵损失函数研究了单失效数据下可靠度θ的Bayes估计问题，在Beta(a, b)先验分布下得到了θ的Bayes估计，又在给定超参数先验分布下分别得到了θ的多层Bayes估计以及E-Bayes估计。尽管这些估计的形式中都含有积分运算，但由于本文使用的损失函数中有两个待定常数p,q，可以通过选择合适的p,q的值简化计算以及得到稳健性较好的估计。

[1]韩明,丁元耀.产品无失效数据的可靠性分析[J].运筹与管理,2003,12(5).

[2]余文波,任海平.成败型试验中无失效数据的多层Bayes分析[J].南昌大学学报(理科版),2009,33(2).

[3]HAN Ming.Estimation of Reliability Based on Zero-failure Data[J].Pureand Applied Mathematics,2002,18(2).

[4]陈文华,崔杰,樊晓燕.单失效数据的可靠性统计分析[J].机械工程学报,2003,39(9).

[5]徐宝.寿命产品可靠度的贝叶斯估计[J].统计与决策，2011,(4).

[6]魏玲,师义民.巴斯卡分布参数的Bayes估计[J].纯粹数学与应用数学,1999,15(2).

[7]韩明.Pascal分布的参数估计[J].纯粹数学与应用数学,2006,22(4).