郑文礼， 杨 巍

（河北民族师范学院 物理系，河北 承德 067000）

从一维半无限高方势阱的能级过渡到一维无限深方势阱的能级

郑文礼， 杨 巍

（河北民族师范学院 物理系，河北 承德 067000）

先从定态薛定谔方程求解出一维无限深方势阱的能级公式及波函数，再从一维半无限高方势阱的能级图解图导出一维无限深方势阱的能级公式，说明一维无限深方势阱的能级确实是一维半无限高方势阱的能级在特定条件下的极限。最后还对一维半无限高方势阱的能级数目进行了讨论，并给出了相应的判别公式。

一维方势阱；能级；判别公式

引言

求解量子束缚体系的能级是量子力学的重要任务。本文先从定态薛定谔方程求解出一维无限深方势阱的能级及波函数，然后用图解的方法求解出一维半无限高方势阱的能级，采用取极限的方法将一维半无限高方势阱的能级过渡到一维无限深方势阱的能级。这种方法对求解其它形式势阱的能级具有指导作用。

1 一维无限深方势阱的能级[1][2][3][4]

在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定的区域内（-a

图1 一维无限深方势阱

这种势称为一维无限深方势阱。在Ι区势能为0，根据定态薛定谔方程可得出Ι区的定态薛定谔方程为又因为体系在一维空间中，所以Ⅰ区的定态薛定谔方程为

而在阱外的Ⅱ区和Ⅲ区的定态薛定谔方程为

（3）式中U0=∞。根据波函数应满足的连续性条件，得出ψI(a)=ψⅡ(a)，ψI(-a)=ψⅢ(-a)。

同理（3）式可改写成

（6）式为二阶常系数线性齐次微分方程，其通解是