王存举

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

并半连续格的一些性质

王存举

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

文章给出并半连续格的概念，讨论并半连续格的一些性质.在并半连续格中引入并半Scott开集簇，用其来刻画并半连续格.

半素滤子;并连续格;并半连续格

0 引言

随着计算机语言中引入连续格的概念后，人们对连续格进行深入研究，把连续格推广到半连续格[1]中得到许多新性质.在本文中，我们在并连续格的基础上，从半素滤子上定义了并半连续格，研究了并半连续格的一些性质，引入了Scott开集簇来刻画并半连续格.

1 预备知识

定义1[1]设 F为格 L的滤子，若对于任意 x，y，z∈L，当 x∨y∈F，x∨z∈F时，有 x∨(y∧z)∈F，则称 F为半素滤子.用 Fi(L)表示所有半素滤子组成的集合.

定义2[2]设(L，≤)是偏序集，对于∀x，a∈L，D⊆L，定义:↓a=｛x∈L:x≤a｝，↑a=｛x∈L:a≤x｝，↓D=∪｛↓a:a∈D｝，↑D=∪｛↑a:a∈D｝，当 D=↓D时称 D为下集，当 D=↑D时称 D为上集.

定义3[3]设 L是完备格，对于 a，b∈L，称 a⇐b，若对任意 F∈Fi(L)，∧F≤a，有 b∈F.记⇓a=｛x∈L∶x⇐a｝，⇑a=｛x∈L:a⇐x｝.若 a⇐a，则 a称是⇐紧元，记 K(L)=｛a∈L:a是⇐紧元｝.

2 并半连续格概念及性质

下面我们先引用文献[4]中并连续格的概念，如果 x∨(∧F)=∧(x∨F)对任意余定向 F和 x都成立，则称并半格 L是并连续格.从而我们结合文献[5]对偶给出下面定义.

定义4 设 L是完备格，对任意 x∈L，F∈Fi(L)，若 x∨(∧F)=∧(x∨F)，则称 L是并半连续格.

定理1 设 L是完备格，若对任意 x∈L，有⇑x是半素滤子.

证明 对任意 x∈L，显然⇑x是上集.对∀a，b∈⇑x，由定义3知，对∀F≤Fi(L)，若∧F≤x，则 a∈F且 b∈F.由 L是完备格且 F是半素滤子知，a∧b∈F，从而 x⇐a∧b.于是⇑x为滤子.下面接着证⇑x是半素滤子.对任意 r，s，t∈L，若 r∨s∈⇑x且 r∨t∈⇑x，则对∀F∈Fi(L)，当∧F≤x时，有 r∨s∈F，r∨t∈F，由于 F是半素滤子，于是 r∧(s∨t)∈F，再由定义3知，x⇐r∧(s∨t)，即 r∧(s∨t)∈⇑x.即证明⇑x是半素滤子.

引理1 设 L为完备格，若 L满足 a≤b蕴含 a⇐b，则……