潘亚丽

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分在齐次Morrey－Herz空间的有界性

潘亚丽

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

证明了带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分在齐次Morrey－Herz空间及其在弱齐次Morrey－Herz空间上的有界性，推广了以往的结果.

参数型Marcinkiewicz积分算子;粗糙核;齐次Morrey－Herz空间

0 引言

设 Sn－1为Rn(n≥2)中的单位球面，dσ=dσ(x')表示 Sn－1上的Lebesgue测度.

设 Ω∈L1(Sn－1)是零次齐次函数，满足

其中

Stein[1]证明了若 Ω在 Sn－1上满足 Lipα(0＜α＜1)条件时，μΩ是(p，p)和弱(1，1)有界的，其中1＜p＜2.Hömander[2]在1960年首先定义了参数型Marcinkiewicz积分并考虑了它的 Lp有界性问题，随后参数型Marcinkiewicz积分的研究受到更多学者的青睐.近来，文献[3]中考虑了带有变量核参数型Marcinkiewicz积分与 Lipβ(Rn)函数生成的交换子在Herz型Hardy空间上的有界性.同时，Lu等[4]引进了齐次Morrey－Herz空间.Marcinkiewicz积分算子在此空间的有界性结论也陆续出现.本文将建立带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分在齐次Morrey－Herz空间上的有界性.

先给出一些必要的定义.带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分定义如下:

设 k∈Z，令 Bk=｛x∈Rn，|x|≤2k｝，Ck=BkBk－1，并记 χk=χCk为 Ck的特征函数.

其中

其中

1 定理及证明

本文的主要结论如下:

定理1 对某个 r＞0，设 Ω∈Lr(Sn－1)是Rn的零阶齐次函数，且满足(1)式，假如0＜p≤∞，1＜q＜∞，λ＞0，若 α和 q满足下列条件之一:

注:ρ=1时，以上结论即是文献[5]中的相应结果，因此我们的工作推广了已有的结果.

为证定理需要以下引理

引理2[7]如果 Ω∈L log L(Sn－1)，ρ＞0，则μΩρ是弱(1，1)型，即

其中 C是常数，不依赖 f.|E|表示集合 E的Lebesgue测度.

于是

首先考察 F2，由在 Lq(Rn)上的有界性可得

对F1考察

注意到 x∈Ck，y∈Cj，j≤k－2，则|x－y|～|x|，于是

由Minkowski不等式及(3)式，有

下面估计 E2，由Minkowski不等式，并注意到|x－y|～|x|，有

最后估计 F3，注意到 x∈Ck，y∈Cj，j≥k+2，有|x－y|～|y|，于是

类似于 E1，E2的估计方法有

于是定理结论在条件(i)下成立.

下面证明在条件(ii)下定理结论也成立.首先，F2的估计与条件(i)下的估计相同，下面估计 F1，由Minkowski不等式和Hölder不等式

同理，类似条件(i)的证明可得

则

定理1证毕.

先估计 V1，用定理1的证明中对E1'的估计方法，由Minkowski不等式，可知

对 V2，同定理1中对的估计和上面对 V1的估计，易得

因此有

定理2得证.

[1]STEIN E M.On the function of Littlewood－Paley，Lusin and Marcinkiewicz[J].Trans Amer Math Soc J，1958，88:430－466.

[2]HÖMANDER L.Estimates for translation invariant operators in Lpspaces[J].Acta Math，1960，104:93－140.

[3]陶祥兴，位瑞英.可变核Marcinkiewicz积分交换子在Herz型Hardy空间上的有界性[J].数学物理学报，2009，29A(6): 1 508－1 517.

[4]LU Shanzhen，Xu Lifang.Boundedness of rough singular integral operators on the homogeneous Morrey－Herz spaees[J].Hokkaido Mathematical Journal，2005，34(2):299－314.

[5]陶双平，司颖华.带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey－Herz空间的有界性[J].西北师范大学学报:自然科学版，2007，43(1):1－7.

[6]MUCKENHOUPT B.Weighted norm inequalities for singular and fractional integrals[J].Trans Amer Math Soc，1971，161: 249－261.

[7]FAN Dashan，SATO S.Weak type(1，1)estimates for Marcinkiewicz integrals with rough kernels[J].Tohoku Math J，2001，53:265－284.

[8]陈冬香，陈杰诚.带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子在Herz空间的有界性[J].数学进展，2005，34(5):591－599.

[9]陶祥兴，张松艳.非齐次粗糙核参数型Marcinkiewicz积分算子 Hp的有界性[J].数学学报:中文版，2011，54(1):97－110.

[10]瞿萌，束立生.一类带粗糙核的Marcinkiewicz积分算子 Lp的有界性[J].山东大学学报:理学版，2011，46(6):22－28.

[11]陈冬香，陈晓莉，傅尊伟.具有粗糙核的交换子在齐次Morrey－Herz空间的CBMO估计[J].数学学报:中文版，2009，52 (5):861－872.

[12]张松艳，陶祥兴.广义Campanato空间上粗糙核参数型Marcinkiewicz积分[J].数学物理学报，2010，30A(1):154－166.

[13]潘亚丽，王信松，李昌文.分数次积分在加权Hardy空间上的有界性[J].南京大学学报数学半年刊，2010，27(1):134－140.

Abstract:The boundedness results on the homogeneous Morrey－Herz spaces and weak Morrey－Herz spaces were established for the parametric Marcinkiewicz integral operator with rough kernels，which extends results that have been achieved in previous research.

Key words:parametric Marcinkiewicz integral;rough kernels;homogeneous Morrey－Herz spaces

Boundedness of Parametric M arcinkiew icz Integrals w ith Rough Kernel on the Homogeneous M orrey－Herz Spaces

PAN Ya－li
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

O 174.2

A

2095－0691(2012)03－0001－07

2012－01－05

安徽省教育厅自然科学研究重点项目(2006KJ069A);安徽省高等学校省级自然科学研究项目(KJ2011B152，KJ2012B166);淮北师范大学青年科研项目(2011xqxm－42)

潘亚丽(1981－ )，女，安徽淮北人，讲师，硕士，研究方向:调和分析与逼近论.