潘亚丽

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分在齐次Morrey－Herz空间的有界性

潘亚丽

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

证明了带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分在齐次Morrey－Herz空间及其在弱齐次Morrey－Herz空间上的有界性，推广了以往的结果.

参数型Marcinkiewicz积分算子;粗糙核;齐次Morrey－Herz空间

0 引言

设 Sn－1为Rn(n≥2)中的单位球面，dσ=dσ(x')表示 Sn－1上的Lebesgue测度.

设 Ω∈L1(Sn－1)是零次齐次函数，满足

其中

Stein[1]证明了若 Ω在 Sn－1上满足 Lipα(0＜α＜1)条件时，μΩ是(p，p)和弱(1，1)有界的，其中1＜p＜2.Hömander[2]在1960年首先定义了参数型Marcinkiewicz积分并考虑了它的 Lp有界性问题，随后参数型Marcinkiewicz积分的研究受到更多学者的青睐.近来，文献[3]中考虑了带有变量核参数型Marcinkiewicz积分与 Lipβ(Rn)函数生成的交换子在Herz型Hardy空间上的有界性.同时，Lu等[4]引进了齐次Morrey－Herz空间.Marcinkiewicz积分算子在此空间的有界性结论也陆续出现.本文将建立带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分在齐次Morrey－Herz空间上的有界性.

先给出一些必要的定义.带粗糙核参数型的Marcinkiewicz积分定义如下:

设 k∈Z，令 Bk=｛x∈Rn，|x|≤2k｝，Ck=BkBk－1，并记 χk=χCk为 Ck的特征函数.

其中

其中

1 定理及证明

本文的主要结论如下:

定理1 对某个 r＞0，设 Ω∈Lr(Sn－1)是Rn的零阶齐次函数，且满足(1)式，假如0＜p≤∞，1＜q＜∞，λ＞0，若 α和 q满足下列条件之一:

注:ρ=1时，以上结论即是文献[5]中的相应结果，因此我们的工作推广了已有的结果.

为证定理需要以下引理

引理2[7]如果 Ω∈L log L(Sn－1)，ρ＞0，则μΩρ是弱(1，1)型，即

其中 C是常数，不依赖 f.|E|表示集合 E的Lebesgue测度.

于是

首先考察 F2，由在 Lq(Rn)上的有界性可得

对F1考察

注意到 x∈Ck，y∈Cj，j≤k－2，则|x－y|～|x|，于是

由Minkowski不等式及(3)式，有

下面估计 E2，由Minkowski不等式，并注意到|x－y|～|x|，有

最后估计 F3，注意到 x∈Ck，y∈Cj，j≥k+2，有|x－y|～|y|，于是

类似于 E1，E2的估计方法有

于……