陶有德，朱 叶，陶亦文

(1.信阳师范学院 数学与信息科学学院，河南 信阳 464000;2.河南商业高等专科学校 计算机应用系，河南 郑州 450044)

连续凸函数的判定定理

陶有德1，朱 叶2，陶亦文1

(1.信阳师范学院 数学与信息科学学院，河南 信阳 464000;2.河南商业高等专科学校 计算机应用系，河南 郑州 450044)

研究了一类连续但不可导凸函数的性质，并给出相应的判定定理.所得结果可以视为可导凸函数的相关结论的推广.

连续函数;可导函数;凸函数;单侧导数;确界定理

0 引言

凸函数是一类具有显著几何特征的函数，在线性规划、最优控制、不等式等领域有着非常重要的应用.自1905年Jensen首次给出凸函数的定义以来，研究凸函数的性质及其判定条件，一直是人们关注的热门问题[1－4].在现有文献中，关于可导凸函数的判定条件的讨论已近于完善，并得到许多有用的结论[5－6].但是，在实际应用中存在着大量在区间上连续但不可导凸函数问题，例如函数

在[－1，1]上是凸函数，且 f(x)在[－1，1]上连续但在[－1，1]上不可导.此时，关于可导凸函数的判定条件失效，需要寻求新的方法判定此类函数的凸凹性.为此，本文选取连续但不可导函数作为研究对象，利用单侧导数和确界存在定理，讨论连续凸函数的判定条件，并将所得结果推广到可导凸函数中去.

1 预备知识

为证明本文的主要结果，需要用到以下引理.

引理1[1]函数 f(x)为区间 I上的凸函数的充要条件是:∀x1，x2，x3∈I，x1＜x2＜x3，总有

引理2[2]设函数 f(x)为开区间(a，b)上的凸函数，则∀x0∈(a，b)，过 x0的弦的斜率

在(a，b)上是……