赵 妍，王小珊

(1.皖南医学院 基础部，安徽 芜湖 241002;2.安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003)

Marcinkiewicz积分交换子的Sharp极大函数估计和连续性

赵 妍1，王小珊2

(1.皖南医学院 基础部，安徽 芜湖 241002;2.安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003)

文章主要研究了Marcinkiewicz积分交换子与加权Lipschitz函数在加权 Lp空间中的Sharp极大函数估计和连续性.

Marcinkiewicz积分交换子;加权Lipschitz函数;Sharp极大函数

1 引言

设 Sn－1是Rn(n≥2)上的单位球面，Ω∈L1(Sn－1)是零次齐次函数且满足

定义Marcinkiewicz积分

其中

设 b是一个局部可积函数，由 μΩ和 b生成的Marcinkiewicz积分交换子定义为

关于 μΩ及有着丰富的结果.2011年，文[1]研究了Marcinkiewicz算子交换子与加权BMO函数的 Lp(α)的有界性，同时，文[2]研究了强奇异积分算子的多线性交换子的Sharp极大函数估计和连续性.最近，Lee和Rim在消失性条件(1)和某种对数型Lipschitz条件下得到了Marcinkiewicz积分的一些性质[3]，这种对数型条件比之前的Lipschitz条件更弱，叙述如下:令 n≥2，若存在 c＞0及 δ＞1，使

对 y1，y2∈Sn－1一致成立，则称(2)为对数型条件.

基于这些工作，本文利用Sharp极大函数技术研究了Marcinkiewicz与加权Lipschitz函数在 Lp空间的有界性.

2 预备知识及定理

本文中，Q表示Rn中的方体，kQ表示与 Q同中心，边长为其 k倍的方体，记 Qk=2kQ.给定方体 Q和局部可积函数 f，令

Ap权定义为:对于1＜p＜∞

A(p，q)定义为:对于1＜p，q＜∞

注1 由Hölder不等式，可以得到 A(p，q)⊂Ap，1＜p，q＜∞.

给定权函数 w，对1＜p＜∞，加权Lebesgue空间 Lp(w)定义为满足以下条件的函数 f:

对0＜β＜1，加权Lipschitz空间 Lipβ(w)定义为满足以下条件的函数 b的全体:

注2 (1)若 b∈Lipβ(w)，w∈A1，x∈Q，则

(2)若 b∈Lipβ(w)，w∈A1，则对任何 Q

文[1]研究了在(1)(2)条件下Marcinkiewicz积分与 b∈BMO((αβ－1)1/p)生成的交换子是从 Lp(α)到 Lp(β)的有界算子.文[2]研究了强奇异积分算子与 b∈Lipβ(w)生成的多线性交换……