梅检民，肖云魁，杨万成，陈祥龙，乔 龙

(1.军械工程学院 火炮工程系，石家庄 050003;2.军事交通学院 汽车工程系，天津 300161;3.军事交通学院 研究生管理大队，天津 300161)

变速器的早期故障特征十分微弱，而变速器的变速过程使微弱故障信息反映更明显［1］，采用变速过程分析机械设备早期故障已为许多研究者所关注。阶比分析是处理机械设备变速过程非稳态信号的有效方法［2－4］，近年来被广泛应用于机器变速过程振动分析［5－8］，但邻近阶比分量在阶比谱中会产生谱峰胶合，使得根据某一阶次的幅值能量判断分析对象的技术状态变得困难。而邻近阶比分量是不可避免的，如何准确、快速分离邻近阶比分量成为阶比分析中的重点、难点问题。文献［9－11］分析了复杂机械振动信号产生的邻近阶比和交叉阶比分量，取得了一定效果。

变速器变速过程信号是与输入轴转频密切相关的多分量线性调频信号(LFM信号或称chirp信号)，而且各个分量时频混叠，单独从时域或频域都不能实现多分量的分离。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform，FRFT)可以理解为chirp基分解，特别适合于处理chirp类信号。利用chirp信号在不同阶次的分数阶傅里叶域呈现出不同的能量聚集性的特点，通过选择合适的FRFT变换阶次，能提取到感兴趣的chirp分量［12－13］。因此，对于变速器变速过程振动信号，只要选择最佳的FRFT变换阶次，就能将邻近的阶比分量分离开。

本文提出了一种基于分数阶傅里叶变换的邻近阶比分量分离方法，根据输入轴转速信号确定目标分量的FRFT变换最佳阶次，在最佳阶次分数阶域分离邻近阶比分量，对分离出的各单分量信号进行单独阶比分析，有效解决了邻近阶比胶合问题，并且该方法计算速度快、精度高。

1 FRFT及其提取chirp分量的原理

1.1 FRFT 定义及性质［14］

信号x(t)的FRFT的定义式为:

式中，FRFT的变换核Kp(t，u)为:

由式(3)可以看出，信号x(t)由一组权系数为Xp(u)的正交基函数K－p(t，u)所表征，这些基函数是chirp的复指数函数。

1.2 FRFT提取chirp信号分量的原理

chirp信号由于其非平稳性，在时、频域都具有较大的展宽，单独的时域或频域滤波都不能得到很好的效果。为了方便说明，画出两个分量的chirp信号的时频分布如图1所示，其中一个分量的时频分布与时间轴的夹角为β。

分数阶傅里叶变换可以解释为信号在时频平面内绕原点旋转任意角度后所构成的分数阶域上的表示，与Wigner-Ville分布、短时傅里叶变换之间只是存在一个坐标变换关系，并不影响信号的时频分布特性。只要分数阶傅里叶变换的旋转角度α与β正交，则该chirp信号在分数阶傅里叶域上的投影就应该聚集在u0一点上，以u0为中心做窄带滤波，将chirp信号从强噪声背景下滤出或从多分量chirp信号中分离，再做－α角度旋转，就实现了chirp信号分量分离与提取。

FRFT提取chirp分量的关键在于能找到合适的旋转角度，得到最佳的FRFT变换阶次。从图1可以看出，最佳角度α、FRFT变换阶次p与调频率fm有如下关系:

图1 FRFT提取chirp信号Fig.1 Extraction of chirp signal by FRFT

1.3 基于转速信号确定FRFT变换最佳阶次

根据FRFT分离提取chirp信号分量的原理可知，当两个chirp分量很邻近时，能否将邻近分量彼此分开，关键取决于FRFT变换的最佳阶次是否精确。目前，常用的基于搜索思想的确定阶次方法都是通过对振动信号进行峰值搜索确定阶次［15－17］，但在多分量信号检测中，分量之间的互相干扰和强分量信号对弱分量信号的淹没会导致峰值众多杂乱，从而难于根据峰值得到精确的FRFT阶次，并且搜索越精细计算量越大;文献［17］提出了一种抑制强信号分量的方法，但由于搜索法确定阶次的基础是复杂的振动信号，其他分量和噪声对确定阶次的影响不可避免，抑制效果也是相对的。

变速器以输入轴的转速为基准，各档位啮合齿轮按照不同的传动比运转。当变速器变速运行时，转频及各档位的啮合频率分量按照不同的阶比随输入轴转速变化，构成不同的阶比分量，测得的变速器振动信号是多分量的chirp信号。分析现有FRFT阶次确定方法存在的不足，结合变速器传动原理，本文提出了一种根据输入轴转速信号精确、快速、自适应确定FRFT变换最佳阶次的方法，其具体步骤如下:

(1)根据输入轴转速信号计算出转频及各档位的啮合频率分量fi，某型变速器5个分量的时频曲线如图2所示;

(2)对转频和各档位的啮合频率分量fi进行最小二乘拟合，计算出各分量的调频率fmi，图2示意了对分量f3的最小二乘拟合;

图2 根据输入轴转速信号确定FRFT变换最佳阶次Fig.2 Calculate the best FRFT order according to the rotate signal of gearbox’s input shaft

由于转速信号不受任何振源和噪声干扰，变速器的传动比又是固定的，因此根据转频得到各档位齿轮啮合频率分量很准确，据此计算得到的各分量的调频率和阶次精度高、速度快、鲁棒性好，而且根据不同的转速信号，能自动得到对应的最佳阶次，是一种自适应的FRFT最佳阶次确定方法。

2 基于FRFT分离邻近阶比分量

2.1 变速器升速过程信号采集

试验对象为BJ2020S四档变速器，其传动示意图如图3所示。采样频率为20 kHz，采样点数为40 k，调节负载励磁电压为200 V来模拟负载工况，升速过程变速器从0开始加速至1 500 r/min，以输入轴为基准，各档位齿轮啮合频率对应阶次如表1。

图3 BJ2020S变速器传动示意图Fig.3 Drive sketch map of BJ2020S gear box

表1 BJ2020S变速器各档位齿轮啮合频率对应阶次Tab.1 Mesh order of different ranges of BJ2020S gearbox

2.2 邻近阶比胶合问题

变速器置某档时，常啮合齿轮和该档齿轮都参与传动，振动能量比其他齿轮突出，检测变速器该档技术状态时，应联合考虑常啮合阶次和该档阶次的幅值能量变化。变速器置三档时的原始信号时频图如图4，对该信号进行阶比分析，阶比谱如图5所示。阶比谱只能分辨出三档阶比分量的阶次17(16.47)，而对于同时参与传动的常啮合齿轮阶比分量的阶次19基本没有反应出来，这是因为三档和常啮合齿轮结构位置邻近，又同时参与传动，两个阶比分量互相耦合，产生了阶比胶合，从而使得根据三档或常啮合阶比分量的阶次对应的幅值判断变速器技术状态变得困难。

图4 3档信号的时频分布(低频段)Fig.4 Time-Frequency distribution of 3 range’s signal(low frequency part)

图5 3档信号的阶比谱Fig.5 Order spectrum of 3 range’s signal

2.3 FRFT分离邻近阶比分量

(1)根据转速信号确定FRFT变换最佳阶次

根据转速信号计算得到转频及各档位啮合频率分量，并按照上述最佳阶次确定方法求得各分量的FRFT变换最佳阶次，如图2中左上角所示，3档分量最佳FRFT阶次p3=1.005 5，常啮合分量最佳 FRFT阶次p4=1.006 4。对比图2，图4发现，图2中根据转频计算得到的各分量的时频分布起止位置清晰，各分量明显分开;由于分量之间的耦合及噪声的干扰，图4中振动信号的时频分布与图2中各分量分布大致对应，没能精确显示各分量的具体时频分布信息。

(2)提取3档阶比分量

3档阶比分量的FRFT最佳阶次为p3=1.005 5，做p3阶FRFT变换，如图6所示。从图6(a)可以清楚看出信号在p3阶分数阶域u0=12 043点位置出现明显峰值，进行带宽为12 020－12 090的带通遮隔，如图6(b)，再做p3阶逆FRFT变换提取出3档阶比分量，时域信号如图6(d)，对提取到的3档阶比分量进行时频分析，如图7所示。

(3)提取常啮合齿轮阶比分量

图6 FRFT提取3档阶比分量Fig.6 Order component extraction of 3 range by FRFT

图7 FRFT提取的3档阶比分量时频图Fig.7 The time-frequency distribution of 3 range’s order component extracted by FRFT

由于3档阶比分量和常啮合齿轮阶比分量邻近，为了避免3档阶比分量对常啮合齿轮阶比分量的影响，对3档阶比分量在其最佳FRFT阶域进行滤除，然后再提取常啮合齿轮阶比分量。常啮合齿轮阶比分量的FRFT最佳阶次为p4=1.006 4，做p4阶FRFT变换，如图8所示。从图8(a)可以清楚看出信号在p4阶分数阶域u0=12 010点位置出现明显峰值，进行带宽为11 970－12 040的带通遮隔，如图8(b)，再做p4阶逆FRFT变换，得到提取后的常啮合齿轮阶比分量时域信号，如图8(d)，对提取到的常啮合齿轮阶比分量做时频分析，如图9所示。

图8 FRFT提取常啮合齿轮阶比分量Fig.8 Order component extraction of always mesh range by FRFT

图9 FRFT提取的常啮合齿轮阶比分量时频图Fig.9 The time-frequency distribution of always mesh range’s order component extracted of by FRFT

比较图4，图7，图9可以看出，图4中不容易看出3档和常啮合齿轮阶比分量的时频分布位置及趋势，而图7、图9更细致、全面地反应了3档阶比分量、常啮合齿轮阶比分量的具体时频分布信息，说明原始信号中各阶比分量之间存在相互耦合和干扰，而对FRFT分离提取的单分量信号进行单独分析，能有效抑制其他分量的影响，突出了目标阶比分量的细致信息，对深入分析目标阶比分量很有意义。

(4)邻近阶比分量的单分量阶比分析

对FRFT分离后的3档阶比分量、常啮合齿轮阶比分量信号分别进行阶比分析，将阶比分析结果合并如图10所示。

图10 FRFT分离邻近阶比后的阶比谱Fig.10 The order spectrum of adjacent order component separated by FRFT

从图10可以清楚看出，通过FRFT分离邻近阶比分量，并对分离出的单分量信号进行单独阶比分析，阶比谱能清晰反应3档阶比分量阶次17(16.47)和常啮合齿轮阶比分量阶次19，很好的解决了邻近阶比胶合问题。

3 结论

(1)基于转速信号确定FRFT变换最佳阶次精度高、速度快、鲁棒性好，能根据不同的转速信号自动得到对应的最佳阶次;

(2)最佳阶次FRFT能准确、快速分离邻近阶比分量，能有效解决邻近阶比胶合问题。

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