刘成友 丁 勇

相对误差直线回归模型两种参数估计方法的比较

刘成友1丁 勇2△

1.南京医科大学生物医学工程系(210029)

2.南京医科大学数学与计算机教研室(210029)

△通讯作者:丁勇，E-mail:yding@njmu.edu.cn

最小二乘法的原理是观察值与拟合值的绝对误差平方和最小，其评价依据是针对等精度数据而言的，即观测数据具有大体相同的绝对误差，这些误差服从均值为0的正态分布。然而大量的科学研究的观测数据的误差往往是相对误差，即被观测量愈大，允许的实际观测误差也愈大。例如，医学应用中，浓度测定的标准曲线，样品测定的准确度和精度是以相对误差为依据的，这样的数据用通常的最小二乘法将导致参数估计的不准确，因此，以相对误差最小为原理的直线回归的方法应运而生〔1－8〕。

目前有两种以相对误差平方和最小为原理的求直线回归的方法〔2－7〕，本文对这两种方法进行比较和评价，为实际应用选择较好的方法提供依据。

原理和方法

1.a、b的两种估计方法

实际计算时，要先估计a、b的一个初始值、，再用上述公式进行迭代。当前后两次的迭代值小于给定的精度ε时，即ε、|＜ε时，停止迭代。将最后一次的计算结果作为a、b的估计值，即取a=a2、b=b2。

用哪一种方法估计a、b较好呢?这是本文要讨论的问题。

2.正态分布的方差和观察数据的相对误差限

绝对误差服从正态分布的回归模型为〔9〕:

我们将这种模型称为绝对误差回归模型。

相对误差服从正态分布的回归模型可表示为:

我们将这种模型称为相对误差回归模型。

即用相对残差平方和对总体方差进行估计。

再来推导观察数据相对误差限与正态分布方差的关系。设X～N(μ，σ2)，由正态分布的 3σ 原则〔9〕可知，P{|X－μ|≤3σ}=0.9973，这里我们可将3σ 视为绝对误差限。

上式给出了相对误差模型中标准差与观察数据的相对误差限的关系。

在此基础上，可用计算机进行模拟计算。通过模拟计算，对两种方法进行比较、评价。

模拟比较

取a=5，b=10，自变量x=1，2，…，10，用计算机产生ε～N(0，0.03332)随机数作为相对误差，按公式(3)得到对应的因变量y，分别用如下两种方法估计各参数，共进行了1万次模拟，计算结果的均值见表1。

方法2:将用方法1求出的a1、b1作为初值、，再用公式(2)进行迭代，当前后两次参数值的差小于 ε=0.00001时，停止迭代。再用计算a2、b2的相对误差，再用(6)式求出S=

再分别取a=5、b=5 和a=10、b=5，用上述类似的方法，求出各参数，结果列于表1。

所有模拟和计算，用MATLAB 7.0编程完成。

表1 两种方法参数估计的比较(¯x±s，10000次模拟结果)

讨 论

在实际应用中，大量数据的相对误差服从正态分布，这样的数据不宜用通常的最小二乘法估计参数，而应该用以相对误差最小为原理的方法估计参数。

本文揭示了正态总体方差与相对残差平方和、观察数据相对误差限之间的关系，推导了公式(5)～(7)，从而为计算机模拟和σ2的估计提供了方法。

我们针对a＜b、a=b和a＞b，设计了表1中3种不同情况的模拟。由表1可知，随着相对误差(对应于σ)的增大，参数估计的误差也增大。无论哪种情况，a(截距)的误差要比b(斜率)的误差大些。在实际问题中，要求观察数据的相对误差不能太大，否则失去应用价值。在我们的模拟过程中，设计了3种相对误差限，来考察计算方法的稳健性，由表1可知，即使相对误差较大(20%，对应于σ=0.0667)，两种方法计算的结果还都是可靠的。

图1 参数分布图(σ=0.0377，a=5，b=10)

本文用模拟数据进行了统计分析:图1为σ=0.0377、a=5和b=10时，两种不同算法a、b估计值的4幅分布直方图。表1的9种情况，共有36幅分布直方图，绝大多数都服从正态分布(用Lilliefors正态检验法〔10〕，有5幅不服从正态分布;用Jarque-Bera正态检验法〔11〕，有4幅不服从正态分布);比较表1的σ和S可知，用公式(5)或(6)对总体方差σ2进行估计还是比较准确的。

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