邢家省，杨义川，吴 桑

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京 100191；2.北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191)

n维正态分布及其线性函数在概率统计学中起到重要作用[1-16].n维正态分布的线性函数服从正态分布是一个经典结果，这个结果的证明方法通常有2种，一种是线性变换方法[15-16]，另一种是线性变换与特征函数相结合的方法[1-3].然而，这2种方法都涉及较多的知识，不方便掌握和使用.因此，笔者拟在已有研究成果的基础上，利用线性变换的传递性，给出n维正态分布的线性函数服从正态分布的一种直接的证明方法.

1 相互独立的正态分布随机变量的线性函数服从正态分布

利用正态分布概率密度的基本性质，可得正态随机变量的线性函数仍是正态随机变量，独立正态随机变量的和仍是正态随机变量，由此可进一步得到相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布.

Z=k1X1+k2X2+b=k1(X1-μ1)+k2(X2-μ2)+(k1μ1+k2μ2+b)～

证毕.

利用引理3和数学归纳法，可将2个独立变量推广至多个独立变量，得到如下结果：

由引理4可知，相互独立的正态分布的线性函数服从正态分布.

2 n维正态分布的基本性质

设(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量，若其概率密度

其中x=(x1,x2,…,xn)T,μ=(μ1,μ2,…,μn)T,Σ=(Cij)n×n是对称正定矩阵，则称(X1,X2,…,Xn)是n维正态随机变量[1-16]，或称(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，记为X=(X1,X2,…,Xn)～Nn(μ,Σ).

下面介绍用雅可比行列式进行不同随机变量间线性变换的方法.雅可比行列式度量了单位立方体在应用映射时的体积变化量，可逆映射可以使用反映……