杜翠真，林建富

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

1 引言

方阵的相似标准形是代数学的重要问题之一，文献[1－3]运用不同的方法对方阵的相似标准形进行了讨论，给出了复数域上矩阵的相似标准形—若当标准形，一般数域 P上方阵的有理标准形.本文给出一般数域 P上的方阵的一种相似标准形 P－若当标准形.记 P为数域，A为数域 P上的 n级方阵，E为单位矩阵.与若当标准形理论类似，有方阵 A的不变因子、初等因子和伴侣阵的定义.

定义1 称形如

的矩阵为 P－若当块，其中 Λ 为多项式 q(λ)=λk+a1λk－1+…+ak－1λ+ak的伴侣阵 .

设 f(λ)为数域 P上的任意多项式，则

定义2 由数域 P上若干个 P－若当块组成的准对角矩阵称为 P－若当形矩阵，其一般形状如

其中

P－若当形矩阵 J的全部初等因子就是由数域 P上的全部 P－若当块的初等因子构成的.

P－若当形矩阵除去 P－若当块的排列次序外被它的初等因子惟一决定.

引理1 数域 P上两个 n级方阵相似的充要条件是它们在数域 P上有相同的初等因子.

证明利用文献[1]的定理8可证.

引理2 首先用初等变换化特征矩阵 λE－A为对角形式，然后将主对角线上元素分解成数域 P上互不相同的首1的不可约因式方幂的乘积，则所有这些不可约因式的方幂就是 A在数域 P上的全部初等因子.

证明利用文献[1]的定理9可证.

引理3 设 f(λ)=(q(λ))i，i=1，2，…，m，则 r(f(J))=(m－ i)k.特别的，J 的最小多项式为(q(λ))m，即 J的最小多项式与特征多项式相等.

证明注意到 q(λ)是 Λ 的最小多项式，且 q(λ)是 f(λ)，f'(λ)，…，f(i－1)(λ)的因式，但不是 f(i)(λ)的因式.因此 f(Λ)=f'(Λ)=… =f(i－1)(Λ)=O 而 B=f(i)(Λ)可逆 .于是

显然 r(f(J))=(m－i)k.

特别地，当 f(λ)=(q(λ))m时，f(J)=[q(J)]m=O.设 J 的最小……